Question

已知过抛物线y=4x²的焦点的直线交抛物线于A、B，若y_A+y_B=8，则|AB|=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而可设出直线方程，然后联立直线与抛物线消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到两根之和与两根之积，再由两点间的距离公式表示出|AB|，将得到的两根之和与两根之积即可得到答案．

解答： 解：y=4x²的焦点为（0，

1

16

），
设过焦点的直线为y=kx+

1

16

则令kx+

1

16

=4x²，即4x²-kx-

1

16

=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理得x₁+x₂=

k

4

，x₁x₂=-

1

64

y₁=kx₁+

1

16

，y₂=kx₂+

1

16

，
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+

1

8

=

1

4

k²+

1

8

=8，所以k²=

63

2

，
所以|AB|=|x₁-x₂|

1+k2

=

65

8

．
故答案为：

65

8

．

点评：本题主要考查抛物线的基本性质和两点间的距离公式的应用，属于中档题．