Question

16．已知函数f（x）=（2+a）x+a²lnx，g（x）=x²+2x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式，并求b的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的定义域和导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数的导数，根据导数的几何意义，即可建立b关于a的函数关系式，并求b的最小值；

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=2+a+$\frac{{a}^{2}}{x}$，x＞0，
∴当2+a≥0，即a≥-2时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当2+a＜0，即a＜-2时，f（x）的单调递增区间是（0，-$\frac{{a}^{2}}{2+a}$），
单调递减区间是（-$\frac{{a}^{2}}{2+a}$，+∞）．
（Ⅱ）设两曲线y=f（x）与y=g（x）的公共点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{（2+a）{x}_{0}+{a}^{2}ln{x}_{0}={{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+b}\\{2+a+\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}=2{x}_{0}+2}\end{array}\right.$消去x₀，得b=a²lna．
又b′=2a（lna+$\frac{1}{2}$），
故b=a²lna在（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）上递减，在（$\frac{1}{\sqrt{e}}$，+∞）上递增．
故b的最小值为-$\frac{1}{2e}$．

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及导数的几何意义，要求熟练掌握导数的应用．