Question

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在[

1

e

， e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底）．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，根据f'（2）=-3得到关于a、b的关系式，再将x=2代入切线方程得到f（2）的值从而求出答案．
（2）由（1）确定函数f（x）的解析式，进而表示出函数h（x）后对其求导，根据单调性与其极值点确定关系式得到答案．

解答：解（1）f′(x)=

a

x

-2bx，f′(2)=

a

2

-4b，f（2）=aln2-4b．
∴

a

2

-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2．
解得a=2，b=1．
（2）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
则h′(x)=

2

x

-2x=

2(1-x2)

x

，令h'（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在[

1

e

， e]内，当x∈[

1

e

， 1)时，h'（x）＞0，∴h（x）是增函数；
当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，∴h（x）是减函数．
则方程h（x）=0在[

1

e

， e]内有两个不等实根的充要条件是

h( 1 e ) ≤ 0 h(1)＞0 h(e) ≤ 0.

即1＜m≤

1

e2

+2．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．