[题目]已知点在椭圆上.动点都在椭圆上.且直线不经过原点.直线经过弦的中点.(1)求椭圆的方程和直线的斜率,(2)求面积的最大值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点.

（1）求椭圆的方程和直线的斜率；

（2）求面积的最大值.

【答案】（1），（2）

【解析】试题分析：（1）将代入，得，可得椭圆方程为，设直线，，，的中点为由得，根据韦达定理及斜率公式可得；（2）由弦长公式及三角形面积公式可得面积，利用导数可求得面积的最大值.

试题解析：（1）将代入，得，

，，

椭圆方程为

设直线，，，的中点为

由得

，，

直线经过弦的中点，则，，

，

（2）当时，由得，，

点到直线的距离，

面积

设，

则

求得，所以.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用导数研究函数的单调性，从而求得求三角形面积最大值的.

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