【题目】等差数列的前项和为，数列满足：，，当时，，且，，成等比数列，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求证：数列中的项都在数列中；

（3）将数列、的项按照：当为奇数时，放在前面：当为偶数时，放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：，，，，，，…这个新数列的前和为，试求的表达式.

【题目】已知函数．

（1）设，求函数的单调增区间；

（2）设，求证：存在唯一的，使得函数的图象在点处的切线l与函数的图象也相切；

（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式成立．

【题目】如图1，在边长为2的正方形中， 是边的中点．将沿折起使得平面平面，如图2， 是折叠后的中点．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

【题目】某地举行水上运动会，如图，岸边有两点，，小船从点以千米/小时的速度沿方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过小时与小船相遇.（水流速度忽略不计）

（1）若，，运动员从处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；

（2）若运动员先从处沿射线方向在岸边跑步匀速行进小时后，再游泳匀速直线追赶小船.已知运动员在岸边跑步的速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下的最大值.

（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？

（2）试运用独立性检验的思想方法有多大把握认为学生的学习积极性与对班级工作的态度有关系？并说明理由.

本题参考数据：

【题目】已知椭圆:的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线交椭圆于两点，在直线上存在点,使得为等边三角形,求的值.

【题目】已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点、轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，求的值.

【题目】近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月、两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了人，发现样本中、两种支付方式都不使用的有人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：

（1）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取人，以表示这人中上个月支付金额大于元的人数，求的分布列和数学期望；

（2）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用的学生中，随机抽查人，发现他们本月的支付金额都大于元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于元的人数有变化？说明理由.

【题目】如图，在空间之间坐标系中，四棱锥的底面在平面上，其中点与坐标原点重合，点在轴上，，，顶点在轴上，且，.

（1）求直线与平面所成角的大小；

（2）设为的中点，点在上，且，求二面角的正弦值.

【题目】在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点形成轨迹．

（1）求轨迹的方程；

（2）若直线与曲线交于两点，为曲线上一动点，求面积的最大值