【题目】已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线。

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。

以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数。

（1）求X的分布列；

（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？

【题目】如图，三棱锥中，平面

，，。分别为线段上的点，且。

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值。

【题目】关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对，再统计其中x，y能与1构成钝角三角形三边的数对的个数m，最后根据统计个数m估计的值．如果统计结果是，那么可以估计的值为（ ）

A.B.C.D.

【题目】已知函数．

（1）求在上的最值；

（2）设，若当，且时，，求整数的最小值．

【题目】设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

【题目】大学先修课程是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分分），结果如下表所示：

（1）这两年学校共培养出优等生人，根据图中等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？

（2）已知今年全校有名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．

（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；

（ii）某班有名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列和数学期望．

参考数据：

参考公式：，其中．

【题目】一正方体的棱长为，作一平面与正方体一条体对角线垂直，且与正方体每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的周长为，则（ ）

A.B.C.D.以上都不正确

【题目】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班40名学生进行了问卷调查，得到了如下的列联表：

（1）在女生的20个个体中，随机抽取2人，记随机变量为抽到“不喜爱篮球”的人数，求的分布列及数学期望；

（2）判断能否在犯错误的概率不超过0.1的条件下认为喜爱篮球与性别有关？

附：，其中．

【题目】已知函数．

（1）若函数在定义域上是单调递增函数，求的取值范围；

（2）若恒成立，求的值．