Question

19．一根内壁光滑的$\frac{3}{4}$钢管被固定在竖直平面内，如图所示．一钢球正对着管口A射入管内．求：
（1）欲使小钢球恰能达到最高点B，则A点速度多大？
（2）要使小钢球到达B后，平抛出去恰能落回A点，则A点速度多大？

Answer 1

分析 （1）小球恰好到达B点时的速度为0，由动能定理即可求出A的速度；
（2）小球从C点水平飞出，做平抛运动，由平抛运动规律和动能定理求出A点的速度．

解答 解：（1）射入后小钢球恰好能达到B点，则在B点速度为零，即v_B=0①
从A到B的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=-mgR$  ②
所以：${v}_{A}=\sqrt{2gR}$
（2）第二次射入后小钢球从B点平抛出去并恰好落回A点，则有：
t=$\sqrt{\frac{R}{g}}$  ③
又：R=v_B′•t  ④
从A到B的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{v′}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{{v′}_{A}}^{2}=-mgR$⑤
联立得：${v}_{A}′=2\sqrt{gR}$
答：（1）欲使小钢球恰能达到最高点B，则A点速度是$\sqrt{2gR}$；
（2）要使小钢球到达B后，平抛出去恰能落回A点，则A点速度是$2\sqrt{gR}$．

点评 本题为动能定理、平抛运动与圆周运动的结合的综合题，解决本题的关键掌握动能定理，以及知道做圆周运动沿半径方向的合力提供向心力．