Question

6．如图，在竖直平面内x轴下方有感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场和电场强度为E、竖直向下的匀强电场．一带电小球从y轴上P（0，h）点以初速度v₀竖直向下抛出．小球穿过x轴后恰好做匀速圆周运动．若不计空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）小球在x轴下方做匀速圆周运动的半径；
（2）小球从P点出发到第三次经过x轴所用时间．

Answer 1

分析 （1）小球先做竖直下抛运动，根据速度位移公式列式求解进入电磁场的速度；在电磁场中做匀速圆周运动，重力和电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律列式求解；
（2）先确定运动轨迹，然后结合圆周运动的周期公式T=$\frac{2πm}{qB}$列式求解．

解答 解：（1）在x轴上方，是匀加速直线运动，根据速度位移公式，有：
${v^2}-v_0^2=2gh$
解得：$v=\sqrt{v_0^2+2gh}$
设小球的质量为m，因带电小球在复合场中作匀速圆周运动，故电场力一定与重力平衡，即：
mg=qE，电场力方向竖直向上，
则小球带负电；
设在复合场中小球的运动半径为R，则：
$qvB=m\frac{v^2}{R}$
联立解得：R=$\frac{{E\sqrt{2gh+v_0^2}}}{Bg}$
（2）小球的运动轨迹如图所示：

从P到O过程，有：
h=$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$
从O到A过程：
${t}_{2}=\frac{T}{2}=\frac{πm}{qB}$
从A向上到返回A点过程，有：
${t}_{3}=\frac{（-v）-v}{-g}$
总时间：
t=t₁+t₂+t₃
联立解得：
t=$\frac{{3\sqrt{v_0^2+2gh}-{v_0}}}{g}+\frac{πE}{gB}$
答：（1）小球在x轴下方做匀速圆周运动的半径为$\frac{{E\sqrt{2gh+v_0^2}}}{Bg}$；
（2）小球从P点出发到第三次经过x轴所用时间为$\frac{{3\sqrt{v_0^2+2gh}-{v_0}}}{g}+\frac{πE}{gB}$．

点评 本题关键是明确小球的受力情况和运动情况，分匀变速直线运动过程和匀速圆周运动过程进行分析，对匀速圆周运动过程，要能够找到向心力来源，根据牛顿第二定律列式分析，不难．