Question

如图所示，一个光滑圆筒立于水平桌面上，圆筒的直径为L．一条长度也为L的细绳一端固定在圆筒中心线上的O点，另一端拴着一个质量为m的小球（可视为质点）．小球以速率v绕中心线OO′在水平面内做匀速圆周运动，但球不会碰到筒底．试求：
（1）当v₁=

1 6 gL

时，绳对小球的拉力T₁和圆筒壁对小球的支持力N₁
（2）当v₂=

3 2 gL

时，绳对小球的拉力T₂和圆筒壁对小球的支持力N₂．

Answer 1

分析：（1）先根据牛顿第二定律求出球刚好挨着内壁作匀速圆周运动的临界速度v₀，再根据v₁与v₀的关系，确定向心力的来源，由牛顿第二定律求解．
（2）v₂＞v₀时，小球紧挨着内壁作匀速圆周运动，受到重力、细绳的拉力和筒壁的弹力，其合力提供向心力，列式求解绳对小球的拉力T₂和圆筒壁对小球的支持力N₂．

解答：解：设球刚好挨着内壁作匀速圆周运动的速度为v₀．此时由重力和细绳的拉力的合力提供向心力，则有：
mgtan30°=m

v 2 0

Lsin30°

解得：v₀=

3 6 gL

（1）当v₁=

1 6 gL

时，时，因为v₁＜v₀，所以小球没有贴着筒壁而做半径较小的圆周运动，圆筒壁对小球的支持力N₁=0．
设此时绳与竖直方向夹角为α，
则：T₁sinα=m

v2

Lsinα

T₁cosα=mg，
解得：T₁≈1.09mg
（2）当v₂=

3 2 gL

时，因为v₂＞v₀，所以小球紧挨着内壁作匀速圆周运动，受到重力、细绳的拉力和筒壁的弹力，其合力提供向心力，则得：
  竖直方向有：T₂cosα=mg
  水平方向有：T₂sinα+N₂=m

v 2 2

Lsinα

解得：T₂=1.15 mg，N₂=1.15 mg．
答：（1）当v₁=

1 6 gL

时，绳对小球的拉力T₁是1.09mg，圆筒壁对小球的支持力N₁为0．
（2）当v₂=

3 2 gL

时，绳对小球的拉力T₂是1.15 mg，圆筒壁对小球的支持力N₂是1.85 mg．

点评：本题要注意判断筒壁对球有无弹力，分析向心力来源，再运用牛顿第二定律求解．