Question

17．如图所示，金属导轨MNC和PQD，MN与PQ平行且间距为L，所在平面与水平面夹角为α，N、Q连线与MN垂直，M、P间接有阻值为R的电阻；光滑直导轨NC和QD在同一水平面内，与NQ的夹角都为锐角θ．均匀金属棒ab和ef质量均为m，长均为L，ab棒初始位置在水平导轨上与NQ重合；ef棒垂直放在倾斜导轨上，与导轨间的动摩擦因数为μ（μ较小），由导轨上的小立柱1和2阻挡而静止．空间有方向竖直的匀强磁场（图中未画出）．两金属棒与导轨保持良好接触．不计所有导轨和ab棒的电阻，ef棒的阻值为R，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，忽略感应电流产生的磁场，重力加速度为g．
（1）若磁感应强度大小为B，给ab棒一个垂直于NQ，水平向右的速度v₁，在水平导轨上沿运动方向滑行一段距离后停止，ef棒始终静止，求此过程ef棒上产生的热量；
（2）在（1）问过程中，ab棒滑行距离为d，求通过ab棒某横截面的电荷量；
（3）若ab棒以垂直于NQ的速度v₂在水平导轨上向右匀速运动，并在NQ位置时取走小立柱1和2，且运动过程中ef棒始终静止．求此状态下最强磁场的磁感应强度及此磁场下ab棒运动的最大距离．

Answer 1

分析 （1）根据能量的守恒，计算ef棒上产生的热量；
（2）根据楞次定律和欧姆定律计算通过ab棒某横截面的电量；
（3）根据法拉第电磁感应定律计算电动势的大小，根据棒的受力计算最强磁场的磁感应强度及此磁场下ab棒运动的最大距离．

解答 解：（1）设ab棒的初动能为E_k，ef棒和电阻R在此过程产生的热量分别为W和W₁，
有W+W₁=E_k…①
且W=W₁…②
由题有E_k=$\frac{1}{2}$mv₁²…③
得W=$\frac{1}{4}$mv₁²…④
（2）设在题设过程中，ab棒滑行时间为△t，扫过的导轨间的面积为△S，通过△S的磁通量为△Φ，ab棒产生的电动势平均值为E，ab棒中的平均电流为I，通过ab棒某横截面的电荷量为q，则有：
E=$\frac{△Φ}{△t}$…⑤
且△Φ=B△S…⑥
I=$\frac{q}{△t}$…⑦

又有I=$\frac{2E}{R}$…⑧
由图1所示△S=d（L-dcotθ）…⑨
联立⑤～⑨，解得：q=$\frac{2Bd（L-dcotθ）}{R}$…⑩
（3）ab棒滑行距离为x时，ab棒在导轨间的棒长L_x=L-2xcotθ⑪
此时，ab棒产生的电动势E_x=Bv₂L_x…⑫
流过ef棒的电流I_x=$\frac{Ex}{R}$…⑬
ef棒所受安培力F_x=BI_xL…⑭
联立⑪～⑭，解得F_x=$\frac{B2v2L}{R}$（L-2xcotθ）…⑮

由⑮式可得，F_x在x=0和B为最大值B_m时有最大值F₁．
由题知，ab棒所受安培力方向必水平向左，ef棒所受安培力方向必水平向右，使F₁为最大值的受力分析如图2所示，图中f_m为最大静摩擦力，有
F₁cosα=mgsinα+μ（mgcosα+F₁sinα）…⑯
联立⑮⑯，得B_m=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mg（sinα+μcosα）R}{（cosα-μsinα）{v}_{2}^{\;}}}$…⑰
⑰式就是题目所求最强磁场的磁感应强度大小，该磁场方向可竖直向上，也可竖直向下．

由⑮式可知，B为B_m时，F_x随x增大而减小，x为最大x_m时，F_x为最小值F₂，如图3可知
F₂cosα+μ（mgcosα+F₂sinα）=mgsinα…⑱
联立⑮⑰⑱，得：x_m=$\frac{μLtanθ}{（1+{μ}_{\;}^{2}）sinαcosα+μ}$…⑲
答：（1）若磁感应强度大小为B，给ab棒一个垂直于NQ，水平向右的速度v₁，在水平导轨上沿运动方向滑行一段距离后停止，ef棒始终静止，此过程ef棒上产生的热量$\frac{1}{4}m{v}_{1}^{2}$；
（2）在（1）问过程中，ab棒滑行距离为d，通过ab棒某横截面的电荷量$\frac{2Bd（L-dcotθ）}{R}$；
（3）若ab棒以垂直于NQ的速度v₂在水平导轨上向右匀速运动，并在NQ位置时取走小立柱1和2，且运动过程中ef棒始终静止．求此状态下最强磁场的磁感应强度及此磁场下ab棒运动的最大距离$\frac{μLtanθ}{（1+{μ}_{\;}^{2}）sinαcosα+μ}$．

点评 本题是对法拉第电磁感应定律的考查，解决本题的关键是分析清楚棒的受力的情况，找出磁感应强度的关系式是本题的重点．