Question

中国自行研制，具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h₁，飞船飞行五周后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示，设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求：

⑴地球的平均密度是多少；

⑵飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小；

⑶椭圆轨道远地点B距地面的高度。

Answer 1

【知识点】万有引力定律及其应用；人造卫星的加速度、周期和轨道的关系；动能定理的应用．D5 E2

【答案解析】⑴ρ＝⑵a_A＝⑶h₂＝－R

解析：⑴根据质量、密度、体积间的关系可知，地球的质量为：M＝                 ①

在地球表面附近时，万有引力与重力近似相等，有：mg＝             ②

由①②式联立解得：地球的平均密度ρ＝

⑵根据牛顿第二定律有：＝ma_A                ③

由②③式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为：a_A＝

⑶飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力，有：＝              ④

由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为：T＝            ⑤

由②④⑤式联立解得，椭圆轨道远地点B距地面的高度为：h₂＝－R

【思路点拨】（1）设地球质量为M．飞船在A点：，对地面上质量为m的物体有黄金公式，联立即可求解；
（2）根据万有引力提供向心力周期关系即可求解高度；