Question

12．人造卫星a的圆形轨道离地面高度为h，地球同步卫星b离地面高度为H，h＜H，两卫星共面且旋转方向相同．某时刻卫星a恰好出现在赤道上某建筑物c的正上方，设地球赤道半径为R，地面重力加速度为g，则（　　）

• A． a、b线速度大小之比为$\sqrt{\frac{R+h}{R+H}}$
• B． a、c角速度之比为$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{（R+h）^{3}}}$
• C． b、c向心加速度大小之比$\frac{R+H}{R}$
• D． a下一次通过c正上方所需时间等于t=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$

Answer 1

分析 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，根据牛顿运动定律求解卫星的角速度．
卫星绕地球做匀速圆周运动，建筑物随地球自转做匀速圆周运动，当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在建筑物上空．

解答 解：A、绕地球运行的卫星，地球对卫星的万有引力提供向心力，设卫星的线速度为v，则：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
可知a、b线速度大小之比为$\sqrt{\frac{R+H}{R+h}}$．故A错误；
B、设卫星的角速度为ω，$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$     
得：$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
所以：$\frac{{ω}_{a}}{{ω}_{b}}=\sqrt{{（\frac{R+H}{R+h}）}^{3}}$
又由于同步卫星b的角速度与c的角速度相同，所以：$\frac{{ω}_{a}}{{ω}_{c}}=\sqrt{{（\frac{R+H}{R+h}）}^{3}}$．故B错误；
C、同步卫星b的角速度与c的角速度相同，根据：a=ω²r可得：$\frac{{a}_{b}}{{a}_{c}}=\frac{R+H}{R}$．故C正确；
D、设经过时间t卫星a再次通过建筑物c上方，根据几何关系有：
（ω_a-ω_c）t=2π        
又：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
联立解得：t=$\frac{2π}{{ω}_{a}-{ω}_{c}}=\frac{2π}{\sqrt{\frac{GM}{（R+h）^{3}}}-\sqrt{\frac{GM}{（R+H）^{3}}}}$=$\frac{2π}{{ω}_{a}-{ω}_{c}}=\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{（R+h）}^{3}}}-\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{（R+H）}^{3}}}}$．故D错误．
故选：C

点评 本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力．第（2）问对于建筑物与卫星的角速度大小关系不能，可将卫星与同步卫星相比较得到．