Question

11．我国月球探测活动的第一步“绕月”工程和第二步“落月”工程已按计划在2013年以前顺利完成．假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g₀，飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，下列判断正确的是（　　）

• A． 飞船在在轨道Ⅰ上的速度大于轨道Ⅲ的速度
• B． 飞船在椭圆轨道Ⅱ上从A到B运行的过程中机械能增大
• C． 飞船在轨道Ⅲ绕月球运动一周所需的时间T=π$\sqrt{\frac{R}{{g}_{0}}}$
• D． 飞船在轨道Ⅰ上的运行速率v=$\frac{\sqrt{{g}_{0}R}}{2}$

Answer 1

分析 在月球表面，万有引力等于重力，在任意轨道，万有引力提供向心力，联立方程即可求解，卫星变轨也就是近心运动或离心运动，根据提供的万有引力和所需的向心力关系确定．飞船在近月轨道Ⅲ绕月球运行，重力提供向心力，根据向心力周期公式即可求解．

解答 解：A、据万有引力提供圆周运动向心力$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$可得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，可得卫星的轨道半径大线速度小，故A错误；
B、飞船从A到B的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒不变，故B错误；
C、在月球表面有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，在轨道III上运动有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR（\frac{2π}{T}）^{2}$联列方程可得：卫星在轨道III上运动一周所需时间T=$2π\sqrt{\frac{{g}_{0}}{R}}$，故C错误；
D、在月球表面有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，在轨道I上运动有：$G\frac{mM}{（R+3R）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+3R}$，解得v=$\frac{\sqrt{{g}_{0}R}}{2}$，故D正确．
故选：D．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．