Question

11．如图所示，水平传送装置A、B两点间距离L=7m，传送带运行的速度v₀=10m/s，紧靠传送带右侧有一平台，物块由传送带进入平台时传送带速度不变，半径R=5m的光滑圆弧轨道左端点C和圆心O的连线与竖直方向夹角θ=53°，现在有一质量m=2kg的小物块，无初速地从A点放到传送带桑，已知小物块与传送带、小物块与平台间的动摩擦因数都是0.35，小物块离开平台后正好从光滑圆弧轨道的左端C点沿切线进入圆弧轨道，平台台面距离C点的竖直高度h=0.8m，g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
（1）小物块在传动带上滑动过程中因摩擦而产生的热量．
（2）小物块在平台上运动的距离；
（3）小物块在圆弧轨道最低点D对轨道的压力大小．

Answer 1

分析 （1）先要正确分析物块的运动情况，可采用假设法：设小物块无初速地从A点放到皮带上后一直加速到B点，运用动能定理求出物块到达B点时的速度，与皮带的速度比较，从而判断出其运动情况．再结合运动公式，求得物块的位移，得到物块与小车滑动时相对位移大小，从而求出摩擦产生的热量．
（2）结合平抛运动的规律求出物体平抛到C点的速度，由速度的分解求出物块离开平台时的速度，再对物块在平台上滑动过程，由动能定理求小物块在平台上运动的距离．
（3）由机械能守恒可求出物体到达D点的速度，根据牛顿第二定律、第三定律结合物块在圆弧轨道最低点D对轨道的压力F_N．

解答 解：（1）设小物块无初速地从A点放到皮带上，一直加速到B点时速度为v₁，
由动能定理知：μmgL=$\frac{1}{2}$mv₁²，解得：v₁=$\sqrt{2μgL}$=$\sqrt{2×0.35×10×7}$m/s=7m/s＜v₀=10m/s
可见小物块是一直加速到B点．
小物块从A点运动到B点所用时间 t₁=$\frac{{v}_{1}}{μg}$=$\frac{7}{0.35×10}$s=2s
在此过程中皮带运动的长度 s_o=v₀t₁=10×2m=20m
物块在皮带上滑动中因摩擦而产生的热量：Q=μmg（s_o-L）=0.35×2×10×（20-7）J=91J
（2）设物体平抛到C点为v₃，水平方向上的速度为v_3x，在竖直方向上的速度为v_3y；
则v_3y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.8}$m/s=4m/s
v_3x=$\frac{{v}_{3y}}{tanθ}$=$\frac{4}{tan53°}$m/s=3m/s
（2）对物块在平台上滑动过程，由动能定理得：
-μmgs=$\frac{1}{2}m{v}_{3x}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv₁²，解得：s=$\frac{40}{7}$m
（3）v₃=$\sqrt{{v}_{3x}^{2}+{v}_{3y}^{2}}$m/s=5m/s
设物体滑到最低点D的速度为v₄，根据机械能守恒得：
 mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv₄²-$\frac{1}{2}$mv₃²
在最低点D对小物块用牛顿第二定律：
 F_N-mg=m$\frac{{v}_{4}^{2}}{R}$
由以上各式代入数据解得：F_N=46N
由牛顿第三定律可知：F′_N=F_N=46N
答：
（1）小物块在传动带上滑动过程中因摩擦而产生的热量是91J．
（2）小物块在平台上运动的距离是$\frac{40}{7}$m；
（3）小物块在圆弧轨道最低点D对轨道的压力大小是46N．

点评 本题是多过程多研究对象问题，难度较大，分析清楚物体运动性质与运动过程是正确解题的前提与关键，分析清楚物体运动过程后，应用能量守恒定律、平抛运动规律、牛顿第二定律与运动学公式即可正确解题．