Question

11．如图所示，有1、2、3三个质量均为m=1kg的物体，物体2与物体3通过不可伸长轻绳连接，跨过光滑的定滑轮，设长板2到定滑轮足够远，物体3离地面高H=2.75m，物体1与长板2之间的动摩擦因数μ=0.2．长板2在光滑的桌面上从静止开始释放，同时物体1（视为质点）在长板2的左端以v=4m/s的初速度开始运动，运动过程中最远相对长木板2能运动到其中点．（取g=10m/s²）求：
（1）开始时物体1和长木板2的加速度大小；
（2）长板2的长度L；
（3）当物体3落地时，物体1在长板2的位置．

Answer 1

分析 （1）物体1相对于2向右运动，物体3和长木板2加速度大小相等．根据牛顿第二定律求出物体1的加速度和物体2和3的整体加速度；
（2）物体1最远相对长木板2能运动到其中点，这时两者的速度相等，求出时间，由位移公式分别求出物体1和物体23的位移，两者位移之差即等于板长．
（3）判断三个物体能否相对静止．假设物体123相对静止，由牛顿第二定律求出加速度和物体1所受的静摩擦力，与最大静摩擦力比较，可知物体1和物体2相对滑动．再求出物体1和物体2、3的加速度，由位移公式求出物体3落地时整体下落高度h，得到时间，并求出物体1的位移，可知物体1在长板2的位置．

解答 解：（1）物体1的加速度为：a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=2m/s²
物体2和3的整体加速度为：a₂=$\frac{mg+μmg}{2m}$=$\frac{（1+μ）g}{2}$=$\frac{（1+0.2）×10}{2}$=6m/s²
（2）设经过时间t₁二者速度相等，有：v₁=v+a₁t=a₂t
代入数据解：t₁=0.5s，v₁=3m/s
物体1和2的位移分别为：
x₁=$\frac{1}{2}$（v+v₁）t=$\frac{1}{2}$×（4+3）×0.5m=1.75m
x₂=$\frac{{v}_{1}}{2}t$=$\frac{3}{2}×0.5$m=0.75m
所以物体1相对木板2向前滑动的距离为：
△x=x₁-x₂=1m
（3）此后，假设物体1、2、3相对静止，整体的加速度大小为：a=$\frac{mg}{3m}$=$\frac{1}{3}$g
对物体1，f=ma=3.3N＞F_f=μmg=2N，故假设不成立，物体1和物体2相对滑动
物体1的加速度为：a₃=μg=2m/s²
物体2和3整体的加速度为：a₄=$\frac{1}{2}$（1-μ）g=$\frac{1}{2}×（1-0.2）×10$m=4m/s²
物体1相对2向后滑，所以木板2长为：L=2△x=2m
（3）整体下落高度为：h=H-x₂=2.75-0.75=2m
根据 h=v₁t₂+$\frac{1}{2}$a₄t₂²
代入数据解得：t₂=0.5s
物体1的位移为：x₃=v₁t₂+$\frac{1}{2}$a₃t₂²
代入数据解得：x₃=1.75m
物体1相对木板2向后滑动的距离为：△x′=h-x₃=0.25m
则有：d=△x-△x′=0.75m
即物体1在距长木板2左端0.75m处；
答：（1）开始时物体1和长木板2的加速度大小分别为2m/s²和6m/s²；
（2）长板2的长度L为2m；
（3）当物体3落地时，物体1在距长木板2左端0.75m处．

点评 本题是牛顿第二定律和运动学公式结合，边计算边分析，抓住临界状态：速度相等是一个关键点．