Question

3．请导出天体运动过程中的线速度v，角速度ω，周期T和轨道半径r的关系式．

Answer 1

分析 天体绕中心天体做圆周运动，靠万有引力提供向心力，结合向心力与线速度、角速度、周期、向心加速度的关系求出线速度、角速度、周期、向心加速度的表达式．

解答 解：把天体的运动看作是匀速圆周运动，所需的向心力由万有引力提供．
根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$；
根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr{ω}^{2}$得，$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$；
根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$；
由a=$\frac{F}{m}$及F=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$解得a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$．
答：天体运动过程中的线速度v，角速度ω，周期T和轨道半径r的关系式分别为：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$；ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$；T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系．