Question

1．利用电场和磁场，可以将比荷不同的离子分开，这种方法在化学分析和原子核技术等领域有重要的应用．
如图所示的矩形区域ACDG（AC边足够长）中存在垂直于纸面的匀强磁场，A处有一狭缝．离子源产生的离子，经静电场加速后穿过狭缝沿垂直于GA边且垂直于磁场的方向射入磁场，运动到GA边，被相应的收集器收集．已知被加速的两种正离子的质量分别是m₁和m₂（m₁＞4m₂），电荷量均为q．加速电场的电势差为U，离子进入电场时的初速度可以忽略，磁感应强度的大小为B．不计重力和空气阻力，也不考虑离子间相互作用．
（1）求质量为m₁的离子进入磁场时的速率v₁；
（2）求两种离子在GA边落点的间距s；
（3）在前面的讨论中忽略了狭缝宽度的影响，实际装置中狭缝具有一定宽度．若狭缝过宽，可能使两束离子在GA边上的落点区域交叠，导致两种离子无法完全分离．
狭缝右边缘在A处，离子可以从狭缝各处射入磁场，入射方向仍垂直于GA边且垂直于磁场．为保证射入磁场的上述两种离子能落在GA边上（狭缝左侧）并被完全分离，求狭缝的最大宽度d．

Answer 1

分析 （1）离子在电场中做加速运动，电场能转化为动能，由能量的转化和守恒即可求出离子进入磁场时的速度．
（2）离子在匀强磁场中将做匀速圆周运动，此时向心力提供洛伦兹力，由带电离子在磁场中运动的半径公式可分别求出质量为m₁、m₂的粒子的轨迹半径，两个轨迹的直径之差就是离子在GA边落点的间距．
（3）由题意画出草图，通过图找出两个轨迹因宽度为d狭缝的影响，从而应用几何知识找出各量的关系，列式求解．

解答 解：（1）加速电场对离子${m}_{1}^{\;}$做的功W=qU
由动能定理得$\frac{1}{2}{m}_{1}^{\;}{v}_{1}^{2}=qU$
解得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{{m}_{1}^{\;}}}$①
（2）离子在磁场中运动的轨迹如图所示

由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，$R=\frac{mv}{qB}$
利用①式得离子在磁场中的轨道半径分别为：${R}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{2{m}_{1}^{\;}U}{q{B}_{\;}^{2}}}$，${R}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{2{m}_{2}^{\;}U}{q{B}_{\;}^{2}}}$②
两种离子在边GA上落点的间距为：$s=2{R}_{1}^{\;}-2{R}_{2}^{\;}$=$\sqrt{\frac{8U}{q{B}_{\;}^{2}}}（\sqrt{{m}_{1}^{\;}-\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}）$③
（3）质量为${m}_{1}^{\;}$的离子，在GA边上的落点都在其入射点左侧2${R}_{1}^{\;}$处，由于狭缝的宽度为d，因此落点区域的宽度也是d．同理，质量为${m}_{2}^{\;}$的离子在GA边上落点区域的宽度也是d

为保证两种离子能完全分离，两个区域应无交叠，条件为：$2（{R}_{1}^{\;}-{R}_{2}^{\;}）＞d$④
利用②式，代入④式：得$2{R}_{1}^{\;}（1-\sqrt{\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}}}）＞d$
${R}_{1}^{\;}$的最大值满足$2{R}_{1m}^{\;}=L-d$
得$（L-d）（1-\sqrt{\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}}}）＞d$
求得最大值${d}_{m}^{\;}=\frac{\sqrt{{m}_{1}^{\;}}-\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}{2\sqrt{{m}_{1}^{\;}}-\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}$
答：（1）质量为m₁的离子进入磁场时的速率${v}_{1}^{\;}$为$\sqrt{\frac{2qU}{{m}_{1}^{\;}}}$；
（2）两种离子在GA边落点的间距s为$\sqrt{\frac{8U}{q{B}_{\;}^{2}}}（\sqrt{{m}_{1}^{\;}}-\sqrt{{m}_{2}^{\;}}）$；
（3）在前面的讨论中忽略了狭缝宽度的影响，实际装置中狭缝具有一定宽度．若狭缝过宽，可能使两束离子在GA边上的落点区域交叠，导致两种离子无法完全分离．
狭缝右边缘在A处，离子可以从狭缝各处射入磁场，入射方向仍垂直于GA边且垂直于磁场．为保证射入磁场的上述两种离子能落在GA边上（狭缝左侧）并被完全分离，狭缝的最大宽度d为$\frac{\sqrt{{m}_{1}^{\;}}-\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}{2\sqrt{{m}_{1}^{\;}}-\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}$

点评 此题考查带电粒子在有界电场中运动的问题，类似质谱仪，解题方式和磁场中运动相似，确定圆心，轨迹和半径，整体上难度较低．