Question

如图所示，装置的左边是足够长的光滑水平台面，一轻质弹簧左端固定，右端连接着质量M=1kg的小物块A，装置的中间是水平传送带，它与左、右两边的台面等高，并能平滑对接．传送带始终以v=1m/s的速率逆时针转动．装置的右边是一光滑曲面，质量m=0.5kg的小物块B从其上距水平台面高h=0.8m处由静止释放．已知物块B与传送带之间的动摩擦因数μ=0.35，l=1.0m．设物块A、B间发生的是对心弹性碰撞，第一次碰撞前物块A处于静止状态．取g=10m/s²．
（1）求物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小．
（2）通过计算说明物块B与物块A第一次碰撞后能否运动到右边的曲面上？
（3）如果物块A，B每次碰撞后，弹簧恢复原长时都会立即被锁定，而当它们再次碰撞前锁定被解除，试求出物块B第n次碰撞后的运动速度大小．

Answer 1

（1）设物块B沿光滑曲面下滑到水平位置时的速度大小为v₀，由机械能守恒定律可得：
mgh=

1

2

mv₀²，
解得：v₀=

2gh

=

2×10×0.8

=4m/s，
设物块B在传送带上滑动过程中因受摩擦力所产生的加速度大小为a，则有：μmg=ma，
设物块B通过传送带后运动速度大小为v，有：v₁²-v₀²=-2al，
解得：v₁=3m/s＞v=1m/s，则物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小为3m/s；
（2）设物块A、B第一次碰撞后的速度分别为v_A、v_B，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
-mv₁=Mv_A+mv_B，
由机械能守恒定律得：

1

2

mv²=

1

2

mv_B²+

1

2

Mv_A²，
解得：v_A=-2m/s，v_B=1m/s，（v_A=0m/s，v_B=-3m/s不符合题意，舍去）
即碰撞后物块B在水平台面向右匀速运动，设物块B在传送带上向右运动的最大位移为l'，则有：
0-v_B²=-2al′，
解得：l′=

1

7

＜l，
所以物块B不能通过传送带运动到右边的曲面上；
（3）当物块B在传送带上向右运动的速度为零时，将会沿传送带向左加速．可以判断，物块B运动到左边台面是的速度大小为v_B，继而与物块A发生第二次碰撞．
由（2）可知，v_B=

1

3

v₁，
同理可得：第二次碰撞后B的速度：v_B1=

1

3

v_B=（

1

3

）²v₁，
…
第n次碰撞后B的速度为：v_B（n-1）=（

1

3

）ⁿv₁=（

1

3

）ⁿ×3=_）=（

1

3

）^n-1m/s；
答：（1）物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小为3m/s．
（2）物块B与物块A第一次碰撞不能运动到右边的曲面上；
（3）物块B第n次碰撞后的运动速度大小为（

1

3

）^n-1m/s．