22．(本小题满分14分)

设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．

(Ⅰ)证明；

(Ⅱ)设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．

22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．

(Ⅰ)证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．

解得，从而得到．

直线的方程为，整理得．

由题设，原点到直线的距离为，即，

将代入上式并化简得，即．

证法二：同证法一，得到点的坐标为．

过点作，垂足为，易知，故．

由椭圆定义得，又，

所以，

解得，而，得，即．

(Ⅱ)解法一：设点的坐标为．

当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．

点的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，

整理得，

于是，．

由①式得

．

由知．将③式和④式代入得，

．

将代入上式，整理得．

当时，直线的方程为，的坐标满足方程组

所以，．

由知，即，

解得．

这时，点的坐标仍满足．

综上，点的轨迹方程为　．

解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．

记(显然)，点的坐标满足方程组

由①式得．　　　③

由②式得．　　④

将③式代入④式得．

整理得，

于是．　　⑤

由①式得．　　⑥

由②式得．　⑦

将⑥式代入⑦式得，

整理得，

于是．　　⑧

由知．将⑤式和⑧式代入得，

．

将代入上式，得．

所以，点的轨迹方程为．

四川文

(5)如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是

(A)　　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　　　　　　　 (D)

(10)已知抛物线y-x²+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于

A.3　　　　　　B.4　　　　　　 C.3　　　　　D.4

解析：选C．设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．

(21)(本小题满分12分)

求F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点.

(Ⅰ)若r是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的作标；

(Ⅱ)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角(其中O为作标原点)，求直线的斜率的取值范围.

解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．

(Ⅰ)易知，，．

∴，．设．则

，又，

联立，解得，．

(Ⅱ)显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．

联立

∴，

由

，，得．①

又为锐角，

∴

又

∴

∴．②

综①②可知，∴的取值范围是．

四川理

20)(本小题满分12分)设、分别是椭圆的左、右焦点.

(Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点，求.的最大值和最小值;

(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角(其中为坐标原点)，求直线的斜率的取值范围.

(20)本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。

解：(Ⅰ)解法一：易知

所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值

当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值

解法二：易知，所以，设，则

(以下同解法一)

(Ⅱ)显然直线不满足题设条件，可设直线，

联立，消去，整理得：

∴

由得：或

又

∴

又

∵，即　 ∴

故由①、②得或

上海理

8、已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为

21、已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，是对应的焦点。

(1)若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

(2)若，求的取值范围；

(3)一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。

21．[解]

(1)∵F₀(c，0)F₁(0，)，F₂(0，)

∴| F₀F₁ |＝，| F₁F₂ |＝

于是，，所求“果圆”方程为

(x≥0)，(x≤0)．　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

(2)由题意，得a+c＞2b，即．

∵(2b)²＞b²+c²，∴a²－b²＞(2b－a)²，得　　　　　　　　　　 ……7分

又b²＞c²＝a²－b²，∴．

∴．

(3)设“果圆”的方程为(x≥0)(x≤0)

记平行弦的斜率为k．

当k＝0时，直线y＝t(－b≤t≤b)与半椭圆(x≥0)的交点是

，与半椭圆(x≤0)的交点是Q()．

∴P、Q的中点M(x，y)满足

得．

∵a＜2b，∴．

综上所述，当k＝0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆……14分

当k＞0时，以k为斜率过B₁的直线l与半椭圆(x≥0)的交点是

由此，在直线l右测，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．　　　 ……17分

当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．　　 ……18分

上海文

21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．

我们把由半椭圆　与半椭圆　合成的曲线称作“果圆”，其中，，．

如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与，轴的交点，是线段的中点．

(1)若是边长为1的等边三角形，求该

“果圆”的方程；

(2)设是“果圆”的半椭圆

上任意一点．求证：当取得最小值时，

在点或处；

　　(3)若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．

21．解：(1)　，

，

于是，

所求“果圆”方程为，．　

(2)设，则

　　　　　，

　　 ，　的最小值只能在或处取到．

　　 即当取得最小值时，在点或处．　　　　　　　　　　

　　 (3)，且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由(2)知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．　　　　　　　

　 　　　　　　．

　　 当，即时，的最小值在时取到，

此时的横坐标是．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．

陕西文

3.抛物线的准线方程是

(A)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)

(C)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)

9.已知双曲线C∶＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是

(A)a　　　　　 　　　　　　　 (B)b　　　　　　　　　　　　　　 (C)　　　　　　　　　　　　　　 (D)

22. (本小题满分14分)

已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.

22．(本小题满分14分)

解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，依题意

，所求椭圆方程为．

(Ⅱ)设，．

(1)当轴时，．

(2)当与轴不垂直时，

设直线的方程为．

由已知，得．

把代入椭圆方程，整理得，

，．

．

当且仅当，即时等号成立．当时，，

综上所述．

当最大时，面积取最大值．

山东理

(13)设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为　　　　　　．

(21)(本小题满分12分)

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)若直线与椭圆相交于，两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

[标准答案](I)由题意设椭圆的标准方程为

，

　(II)设，由得

，

，.

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，

，，

，

，解得

，且满足.

当时，，直线过定点与已知矛盾；

当时，，直线过定点

综上可知，直线过定点，定点坐标为

全国2理

11．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为(　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

12．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则(　　 )

A．9　　　　　　　　　　 B．6　　　　　　　　　　 C．4　　　　　　　　　　 D．3

20．(本小题满分12分)

在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．

(1)求圆的方程；

(2)圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．

20．解：(1)依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，

　　　 即　　 ．

　　　 得圆的方程为．

(2)不妨设．由即得

　　　 ．

设，由成等比数列，得

　　　 ，

即　　 ．

由于点在圆内，故

由此得．

所以的取值范围为．

全国2文

11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于(　　 )

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

12．设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则(　　 )

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

全国1理

(4)已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为(　)

A．　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

(11)抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是(　)

A．　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

(21)(本小题满分12分)

已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．

(Ⅰ)设点的坐标为，证明：；

(Ⅱ)求四边形的面积的最小值．

(21)证明：

(Ⅰ)椭圆的半焦距，

由知点在以线段为直径的圆上，故，

所以，．

(Ⅱ)(ⅰ)当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．

设，，则

，

；

因为与相交于点，且的斜率为，

所以，．

四边形的面积

．

当时，上式取等号．

(ⅱ)当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．

综上，四边形的面积的最小值为．

宁夏理

6．已知抛物线的焦点为，

点，在抛物线上，

且， 则有(　)

A．　　　　　　 B．

C．　　　　 D．

13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　．3

19．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．

(I)求的取值范围；

(II)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．

19．解：(Ⅰ)由已知条件，直线的方程为，

代入椭圆方程得．

整理得　　①

直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，

解得或．即的取值范围为．

(Ⅱ)设，则，

由方程①，．　　②

又．　　③

而．

所以与共线等价于，

将②③代入上式，解得．

由(Ⅰ)知或，故没有符合题意的常数．

辽宁理

11．设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为(　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

14．设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则=　　　　．

20．(本小题满分14分)

已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆(点为圆心)

(I)求圆的方程；

(II)设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．

本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．

(I)解法一：设两点坐标分别为，，由题设知

．

解得，

所以，或，．

设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为

．................................................................................. 4分

解法二：设两点坐标分别为，，由题设知

．

又因为，，可得．即

．

由，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．

设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为．................................................................................. 4分

(II)解：设，则

．................................ 8分

在中，，由圆的几何性质得

，，

所以，由此可得

．

则的最大值为，最小值为．

江西理

9．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点(　)

A．必在圆内　　　　　　　　 B．必在圆上

C．必在圆外　　　　　　　　 D．以上三种情形都有可能

21．(本小题满分12分)

设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．

(1)证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；

(2)过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点．

解法一：(1)在中，，即，

，即(常数)，

点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．

方程为：．

(2)设，

①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．

即，因为，所以．

②当不垂直于轴时，设的方程为．

由得：，

由题意知：，

所以，．

于是：．

因为，且在双曲线右支上，所以

．

由①②知，．

解法二：(1)同解法一

(2)设，，的中点为．

①当时，，

因为，所以；

②当时，．

又．所以；

由得，由第二定义得

．

所以．

于是由得

因为，所以，又，

解得：．由①②知．

江西文

7．连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为(　)

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　 D．

12．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点(　)

A．必在圆上　　　　　　　　 B．必在圆外

C．必在圆内　　　　　　　　 D．以上三种情形都有可能

22．(本小题满分14分)

设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．

(1)证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；

(2)如图，过点的直线与双曲线的右支交于两点．问：是否存在，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

22．解：(1)在中，

(小于的常数)

故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．

方程为．

(2)方法一：在中，设，，，．

假设为等腰直角三角形，则

由②与③得，

则

由⑤得，

，

故存在满足题设条件．

方法二：(1)设为等腰直角三角形，依题设可得

所以，．

则．①

由，可设，

则，．

则．②

由①②得．③

根据双曲线定义可得，．

平方得：．④

由③④消去可解得，

故存在满足题设条件．

江苏理

3．在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为

A．　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　 D．

15．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则　　.

19、(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，

(1)若，求的值；(5分)

(2)若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；(5分)

(3)试问(2)的逆命题是否成立？说明理由。(4分)

解：(1)设过C点的直线为，所以，即，设A，=，，因为，所以

，即，

所以，即所以

(2)设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。

(3)(2)的逆命题是成立，由(2)可知Q，因为PQ轴，所以

因为，所以P为AB的中点。

9．设分别是椭圆()的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是(　　 )

A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．

20．(本小题满分12分)

已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．

(I)若动点满足(其中为坐标原点)，求点的轨迹方程；

(II)在轴上是否存在定点，使.为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

20．解：由条件知，，设，．

解法一：(I)设，则则，，

，由得

即

于是的中点坐标为．

当不与轴垂直时，，即．

又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

，即．

将代入上式，化简得．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

所以点的轨迹方程是．

(II)假设在轴上存在定点，使为常数．

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入有．

则是上述方程的两个实根，所以，，

于是

．

因为是与无关的常数，所以，即，此时=．

当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，

此时．

故在轴上存在定点，使为常数．

解法二：(I)同解法一的(I)有

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入有．

则是上述方程的两个实根，所以．

．

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有

．整理得．

当时，点的坐标为，满足上述方程．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

故点的轨迹方程是．

(II)假设在轴上存在定点点，使为常数，

当不与轴垂直时，由(I)有，．

以上同解法一的(II)．

湖南文

9．设分别是椭圆()的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为(为半焦距)的点，且，则椭圆的离心率是(　　 )

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

19．(本小题满分13分)

已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是．

(I)证明，为常数；

(II)若动点满足(其中为坐标原点)，求点的轨迹方程．

19．解：由条件知，设，．

(I)当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，

此时．

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入，有．

则是上述方程的两个实根，所以，，

于是

．

综上所述，为常数．

(II)解法一：设，则，，

，，由得：

即

于是的中点坐标为．

当不与轴垂直时，，即．

又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

，即．

将代入上式，化简得．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

所以点的轨迹方程是．

解法二：同解法一得……………………………………①

当不与轴垂直时，由(I) 有．…………………②

．………………………③

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有

．整理得．

当时，点的坐标为，满足上述方程．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

故点的轨迹方程是．

湖北理

7．双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，则等于(　　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

10．已知直线(是非零常数)与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有(　　 )

A．60条　　　　　　　　　　 B．66条　　　　　　　 C．72条　　　　　　　 D．78条

19．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线()相交于两点．

(I)若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

(II)是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．(此题不要求在答题卡上画图)

19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．

解法1：(Ⅰ)依题意，点的坐标为，可设，

直线的方程为，与联立得消去得．

由韦达定理得，．

于是．

，

当时，．

(Ⅱ)假设满足条件的直线存在，其方程为，

的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，

则，点的坐标为．

，

，

，

．

令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，

即抛物线的通径所在的直线．

解法2：(Ⅰ)前同解法1，再由弦长公式得

，

又由点到直线的距离公式得．

从而，

当时，．

(Ⅱ)假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，

将直线方程代入得，

则．

设直线与以为直径的圆的交点为，

则有．

令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，

即抛物线的通径所在的直线．

湖北文

12．过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为______．

广东理

11．在平面直角坐标系中，有一定点,若线段的垂直平分线过抛物线则该抛物线的方程是　　　　．

18． (本小题满分14分)

　　在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于

坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

　　(1)求圆的方程；

　　(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

18. 解： (1)设圆心坐标为(m，n)(m<0，n>0),则该圆的方程为(x-m)²+(y-n)²=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

=2

即=4　　　①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得

m²+n²=8　　　　　 ②

联立方程①和②组成方程组解得

故圆的方程为(x+2)²+(y-2)²=8

　(2)=5，∴a²=25，则椭圆的方程为　　　　 +　　　　　 =1

其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。

要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)²+y²=8与(1)所求的圆的交点数。

通过联立两圆的方程解得x=，y=

即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。

广东文

11．在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是　　　　．

19(本小题满分14分)

　　在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为2／2的圆与直线相切于

坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

　(1)求圆的方程；

　(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点F的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

19解:(1) 设圆C 的圆心为 (m, n)

　　　　则 　　　　　　解得

　　　　 所求的圆的方程为 　

(2) 由已知可得　 　　　

　 椭圆的方程为　 　,　 右焦点为　 F( 4, 0) ;

　 假设存在Q点使,

　　　 整理得　 　　　代入 　得:

　　　 　,　

　　　 因此不存在符合题意的Q点.

福建理

6．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是(　　 )

A．　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　 D．

20．(本小题满分12分)如图，已知点，

直线，为平面上的动点，过作直线

的垂线，垂足为点，且．

(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；

(Ⅱ)过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；

20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．

解法一：(Ⅰ)设点，则，由得：

，化简得．

(Ⅱ)设直线的方程为：

．

设，，又，

联立方程组，消去得：

，，故

由，得：

，，整理得：

，，

．

解法二：(Ⅰ)由得：，

，

，

．

所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．

(Ⅱ)由已知，，得．

则：．…………①

过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，

则有：．…………②

由①②得：，即．

福建文

10．以双曲线的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是(　)

A．　　　　　 B．

C．　　　　　 D．

22．(本小题满分14分)

如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．

(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；

(Ⅱ)过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．

(1)已知，，求的值；

(2)求的最小值．

22．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．

解法一：(Ⅰ)设点，则，由得：

，化简得．

(Ⅱ)(1)设直线的方程为：

．

设，，又，

联立方程组，消去得：，，

由，得：

，，整理得：

，，

．

解法二：(Ⅰ)由得：，

，

，

．

所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．

(Ⅱ)(1)由已知，，得．

则：．…………①

过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，

则有：．…………②

由①②得：，即．

(Ⅱ)(2)解：由解法一，

．

当且仅当，即时等号成立，所以最小值为．

北京理

17．(本小题共14分)

矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．

(I)求边所在直线的方程；

(II)求矩形外接圆的方程；

(III)若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

17．(共14分)

解：(I)因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．

又因为点在直线上，

所以边所在直线的方程为．

．

(II)由解得点的坐标为，

因为矩形两条对角线的交点为．

所以为矩形外接圆的圆心．

又．

从而矩形外接圆的方程为．

(III)因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，

所以，

即．

故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．

因为实半轴长，半焦距．

所以虚半轴长．

从而动圆的圆心的轨迹方程为．

北京文

4．椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是(　)

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

19．(本小题共14分)

如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．

(I)求边所在直线的方程；

(II)求矩形外接圆的方程；

(III)若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

19．(共14分)

解：(I)因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．

又因为点在直线上，

所以边所在直线的方程为．

．

(II)由解得点的坐标为，

因为矩形两条对角线的交点为．

所以为矩形外接圆的圆心．

又．

从而矩形外接圆的方程为．

(III)因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，

所以，

即．

故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．

因为实半轴长，半焦距．

所以虚半轴长．

从而动圆的圆心的轨迹方程为．

安徽理

(9)如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为

　 (A)　　　　　　 (B)　　　　　　 (C)　　　 (D)

(14)如图，抛物线y=-x²+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P₁,P₂,…,P_n-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q₁，Q₂，…，Q_n-1，从而得到n-1个直角三角形△Q₁OP₁, △Q₂P₁P₂,…, △Q_n-1P_n-1P_n-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为　　　　　　　　　.

(19) (本小题满分12分)

如图，曲线G的方程为y²=2x(y≥0).以原点为圆心，以t(t >0)为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.

(Ⅰ)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；

(Ⅱ)设曲线G上点D的横坐标为a+2，求证：

直线CD的斜率为定值.

19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．

解：(Ⅰ)由题意知，．

因为，所以．

由于，故有．　(1)

由点的坐标知，

直线的方程为．

又因点在直线上，故有，

将(1)代入上式，得，

解得．

(Ⅱ)因为，所以直线的斜率为

．

所以直线的斜率为定值．

安徽文

(2)椭圆的离心率为

　　 (A)　　　　　 (B)　　　　　　 (C)　　　 (D)

(18)(本小题满分14分)

　　设F是抛物线G:x²=4y的焦点.

　　(Ⅰ)过点P(0，-4)作抛物线G的切线，求切线方程：

(Ⅱ)设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.

18．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．

解：(I)设切点．由，知抛物线在点处的切线斜率为，故所求切线方程为．

即．

因为点在切线上．

所以，，．

所求切线方程为．

(II)设，．

由题意知，直线的斜率存在，由对称性，不妨设．

因直线过焦点，所以直线的方程为．

点的坐标满足方程组

得，

由根与系数的关系知

．

因为，所以的斜率为，从而的方程为．

同理可求得．

．

当时，等号成立．所以，四边形面积的最小值为．