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22.(本小题满分14分)已知抛物线的焦点为,过作两条互相垂直的弦、,设、的中点分别为
(1) 求证:直线必过定点,并求出定点坐标
(2) 分别以和为直径作圆,求两圆相交弦中点的轨迹方程
解:(1)证明:由题可知,设,,直线AB的方程为,则由消去x可得
,
所以,,即,代入方程,解得,所以,点M的坐标为
同理可得:的坐标为
直线的方程为,整理得
显然,不论为何值,均满足方程,所以直线恒过定点
(2)过作准线的垂线,垂足分别为 由抛物线的性质不难知道:准线为圆与圆的公切线,设两圆的相交弦交公切线于点,则由平面几何的知识(切割线定理)可知:为的中点 所以
,
即
又因为公共弦必与两圆的连心线垂直,所以公共弦的斜率为
所以,公共弦所在直线的方程为
即
所以公共弦恒过原点
根据平面几何的知识知道:公共弦中点就是公共弦与两圆连心线的交点,所以原点、定点、所求点构成以为直角顶点的直角三角形,即在以为直径的圆上
又对于圆上任意一点(原点除外),必可利用方程求得值,从而以上步步可逆,故所求轨迹方程为