河南省实验中学2009年高三年级第一次质量预测
数学试题（文科）
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。考试结束后，将本试卷和答卷一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写清楚，并将准考证号对应的数字涂黑.
2．每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效.
3．本卷共l2小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
参考公式：
如果事件
互斥，那么 球的表面积公式
如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式 
一、选择题
1．设
=
，
=
，则
=
（ ）
A．[2,4]
B．
[-2,2]
C．[-2,4] D．[-4,4]
2．若向量
=（4,2）,
=(6,m),则
，则
的值是 （ ）
A．12 B．
3．曲线
在点
处的切线方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．若函数
的反函数是
，则
= （ ）
A．0 B．
5．设
是过抛物线焦点的弦，那么以为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
6．一枚硬币连掷5次，这至少一次正面向上的概率是 （ ）
3
4
A．
B．
C． 
D．
7．将1、2、3…9这九个数字填在如图的9个空格中，要求每一
行从左到右，每一列从上到下增大，当3、4固定在图中的位
置时，填写空格的办法为
（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
8．如右图，在正方体
-
中，
为
的中点，则
与
所在直线所成角的余弦值等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
的值为 （ ）
A．-4 B．
10．已知函数
是
上的减函数。那么的取值范围是
（ ）
A． 
B．
C．
D．
11．同时具有性质：“①最小正周期是
②图像关于直线
对称③在
上是增函数”的一个函数是 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．斜率为2的直线
过双曲线
的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。
3．本卷共l0小题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
（注意：在试题卷上作答无效）
13．已知
，则
的最小值是 .
14．
15的展开式中各项系数和是
?
15．等差数列｛an｝的前10项和为10，前20项和为30，则其前30项和等于
.
16．下列命题：①如果一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；②如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一平面的两个不同平面相互平行；④垂直于同一直线的两个不同平面相互平行。其中真命题的是
.
（把正确的命题序号全部填在横线上）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）
为△ABC的内角A、B、C的对边，
，且与
的夹角为
。
（I）求角C；
（Ⅱ）已知
，△ABC的面积
，求
．
18．（本题满分l2分）（注意：在试卷上作答无效）
如图所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中点．
（I）求证：AC∥平面GBE；
（Ⅱ）若直线BE与平面ABCD成45o角，求平面GBE
与平面ABCD所成的锐二面角的大小．
19．（本题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
从某批产品中，有放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有一件是二等品”的概率
（Ｉ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率P；
（II）若该批产品共100件，从中一次性任意抽取2件，求事件：“取出的2件产品中至少1件是二等品”的概率
20．（本题满分12分）（注意:在试题卷上作答无效）
已知三次函数
在
，（
）上单调递增，在
上单调递减.
（I）求
的值；
（II）若当且仅当
时，
，求
的解析式.
21．（本题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知是互相垂直的单位向量，
.
（I）若
,
,试写出
;
（II）若
,
,试写出
;
（III）记
,求数列
的前项和.
22．（本题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知点
,
分别在直线
和
上运动,点
是线段
的中点,且
动点轨迹是曲线
.
（I）求曲线的方程,并讨论所表示的曲线类型;
（II）当
时,过点
的直线与曲线恰有一个公共点,求直线的斜率.
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
C
B
B
A
B
C
D
C
D
二、填空题
13．2 14．-1 15．60 16．③④
三、解答题
17．解：（1）∵
，
，
∴
．
…………2分
又
，
…………4分
∴
，∴
．…………5分
（2）∵
，
，，
∴
．
…………7分
∵
，
∴
． …………9分
∴
，
∴
.…………10分
18． (1)证明：连结BD交AC于点M，取BE的中点N，
连结MN，则MN∥ED且MN＝
ED，依题意，
知AG∥ED且AG＝ED，
∴MN∥AG且MN＝AG．
故四边形MNAG是平行四边形，
AM∥ＧＮ，即AC∥ＧＮ，…………4分
又∵
，
∴ AC∥平面GBE． …………6分
（2）延长EG交DA的延长线于H点，
连结BH，作AP⊥BH于P点，连结GP．
∵ 平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD ，
GH
平面ADEF， GA⊥AD．
∴ GA⊥平面ABCD，由三垂线定理，知GP⊥BH，
故∠GPA就是所求二面角的平面角． …………8分
∵ 平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD ，ED⊥AD．
∴ ED⊥平面ABCD，
故∠EBD就是直线BE与平面ABCD成的角，…………10分
知∠EBD＝45°，设AB＝a，则BE＝BD＝
a．
在
ABH中：AH＝AB= a，
BH＝
，AP＝
＝
a．
在GPA中：由AG＝
＝a
＝AP ，GA⊥AP，知∠GPA＝45°．
故平面GBE与平面ABCD所成的锐二面角的大小为45°．…………12分
19．解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件是二等品”．
则A0、A1互斥，且A＝A0＋A1，
故P (A)＝P
(A0＋A1)＝P
(A0) ＋P
(A1)＝(1－p)2＋C
p (1－p)＝1－p2．
依题意，知1－p2＝0.96，
又p＞0，得p＝0.2．…………6分
（2）若该批产品共100件，由（1）知，其中共有二等品100×0.2＝20件．
记Ｃ表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
则事件Ｂ与事件Ｃ互斥，依题意，知
Ｐ(C)＝
．故P (Ｂ)＝1－Ｐ(C)＝
．…………12分
20．解 （1）
在
上单调递增，
上单调递减，
有两根
，……3分
……6分
（2）令
，
则
，
……………8分
因为
在
上恒大于0，
所以
在上单调递增，
故
，
， …………10分
.
……………12分
21．解：（１）依题意，知
=10b－b =9b．
由
０，
得
，
故
＝
，
得＝
9b=
b．…………4分
(2)依题意，知
=
由
得
即 
－
＝
故＝
（3）由a、b是互相垂直的单位向量，c = a+b知，b •c= b •( a+b)=0+1=1．
得 an＝b •2 n c＝2 n．记数列｛an｝的前n项和为Sn，
则有 Sn=2×9+4×3+6×1+8×
+…+2 n．①…………10分
Sn=2×3+4×1+6×+8×
+…+2(n-1)+ 2 n
．②
①－②得，
Sn=2[9+3+1++…+]- 2 n．
故Sn =
．…………12分
22．解：（I）设
依题意得
消去
，整理得
．…………4分
当
时，方程表示焦点在
轴上的椭圆；
当
时，方程表示焦点在
轴上的椭圆；
当
时，方程表示圆． …………6分
（II）当
时，方程为
，
设直线
的方程为
，
消去得
．…………10分
根据已知可得
，故有
，
，
直线的斜率为
. …………12分
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