嘉兴一中2009届高三二模
数学（理科）试题卷
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，考试时间为120分钟，请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
球的体积
其中
表示球的半径
如果事件
，
相互独立，那么
棱柱的体积
其中
表示棱柱的底面积，
表示高
如果事件在一次实验中发生的概率是 棱锥的体积
，那么
次独立重复实验中事件恰
其中表示棱锥的底面积，表示高
好发生
次的概率
棱台的体积
其中
，
分别表示棱台的上、下底面
球的表面积
积，表示棱台的高
其中表示球的半径
第I卷
一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．全集
，
，则
A．
B．
C．
或
D．或
2．“
”是“
”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为
，则判断框中应填入的条件是
A．
B．
C．
D．
4．设
是三个重合的平面，
是不重合的直线，
下列判断正确的是
A．若
则
B．若
则
C．若
则
D．若
则
5．若
，则
A．18
B．
6．已知钝角三角形
的最大边长为2，其余两边长为
，则以
为坐标的点所表示平面区域的面积是
A．
B．
C．
D．
7．等比数列
中，
记
则当
最大时，
的值为
A．7
B．
8．已知
，则
的解集是
A．
B．
C．
D．
9．双曲线
的左、右焦点分别为
、
，离心率为
，过的直线与双曲线的右支交于
两点，若
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，则 
A．
B．
C．
D．
10．若函数
则下列命题正确的是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）
11．若复数
为虚数单位）是纯虚数，则实数
的值为___________。
12．设等差数列的前项和为
，且
，则
___________。
13．如图，测量河对岸的旗杆高
时，选与旗杆底
在同一水平面
内的两个测点
与
，测得
，
，
，
并在点测得旗杆顶的仰角为60°，则旗杆高为______
14．已知
均为单位向量，且它们的夹角为60°，
当
取最小值时，
___________。
15．若某个多面体的三视图如图所示，那么该几何体的集体为___________。
16．由0，1，2，3，4组成的四位数中，含有数字0。且恰有2个数位
上的数字重复的四位数的个数是____________。（用数字作答）
17．
对
，
，
使
，则
的取值范围是________________。
三、解答题（本大题共5小题，共72分）
18．已知
且
（I）求
的值；
（Ⅱ）当
时，求函数
的值域。
19．如图，在
中，
为
边上的高，
，沿将
翻折，使得
得几何体
（I）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小的余弦值。
20．有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有3个小球，乙盒子中装有5个小球，每次随机选取一个盒子并从中取出一个球。
( I )求当甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率；
(Ⅱ)当第一次取完一个盒子中的球时,另一个盒子恰剩下
个球,求的分布列及期望
21．如图，已知椭圆
长轴长为4，高心率为
过点
的直线
交椭圆于两点、交
轴于
点，点关于轴的对称点为，直线
交轴于
点。
（I）求椭圆方程；
（Ⅱ）探究：
是否为常数？
22．已知函数
（I）求证函数在
上单调递增；
（Ⅱ）函数
有三个零点，求
的值；
（Ⅲ）对
恒成立，求的取值范围。
一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）
1．C 2．A 3．B 4．D 5．B
6．B 7．C 8．D 9．D 10．A
二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）
11．2 12．45 13．
14．
15．1 16．144 17．
三、解答题（本大题共5小题，第18―20题各14分，第21、22题各15分，共72分）
18．（1）因为
（4分）
所以
（Ⅱ）由（I）得，
（10分）
因为
所以
，所以
（12分）
因此，函数
的值域为
。（14分）
19．（I）因为
，所以
平面
。 （3分）
又因为
平面
所以
①（5分）
在
中，
，由余弦定理，
得
因为
，所以
，即
。② （7分）
由①，②及
，可得
平面
（8分）
（Ⅱ）方法一；
在
中，过
作
于
，则
，所以
平面
在
中，过作
于
，连
，则
平面
，
所以
为二面角
的平面角 （11分）
在
中，求得
，
在
中，求得
，
所以
所以
。
因此，所求二面角的大小的余弦值为
。
方法二：
如图建立空间直角坐标系
（9分）
则
设平面
的法向量为
，
则
所以
，取
，
则
（11分）
又设平面的法向量为
，
则
，取
，则
（13分）
所以，
因此，所求二面角的大小余弦值为。
20．（I）
（6分）
（Ⅱ）
1
2
3
4
5
（14分）
21．（I）由题意得
（3分）
解得
（5分）
所以椭圆方程为
（6分）
（Ⅱ）直线
方程为
，则的坐标为
（7分）
设
则
，
直线
方程为
令
，得
的横坐标为
① （10分）
又
得
得
， （12分）
代入①得
， （14分）
得
， 
为常数4 （15分）
22．（I）
（2分）
由于
，故尝
时，
，所以
， （4分）
故函数在
上单调递增。 （5分）
（Ⅱ）令
，得到
（6分）
的变化情况表如下： （8分）
0
一
0
+
极小值
因为函数
有三个零点，所以
有三个根，
有因为当
时，
，
所以
，故
（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知在区间上单调递减，在区间
上单调递增。
所以
（11分）
记
则
（仅在
时取到等号），
所以
递增，故
，
所以
（13分）
于是
故对
，所以
（15分）
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