例1 求函数y＝sinπ的单调增区间

误解：令u＝π

∵y＝sinu在［2kπ－，2kπ+］(k∈Z)上递增

∴2kπ－≤π≤2kπ+

解得－4k≤x≤－4k+2

∴原函数的单调递增区间为［－4k，－4k+2］(k∈Z)

分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令u＝π，忽视了u是x的减函数，未考虑复合后单调性的变化

正解如下：

解法一：令u＝π，则u是x的减函数

又∵y＝sinu在［2kπ+，2kπ+］(k∈Z)上为减函数，

∴原函数在［2kπ+，2kπ+］(k∈Z)上递增

设2kπ+≤π≤2kπ+

解得－4k－2≤x≤－4k(k∈Z)

∴原函数在［－4k－2，－4k］(k∈Z)上单调递增

解法二：将原函数变形为y＝－sinπ

因此只需求sinπ＝y的减区间即可

∵u＝π为增函数

∴只需求sinu的递减区间

∴2kπ+≤π≤2kπ+

解之得：4k+2≤x≤4k+4(k∈Z)

∴原函数的单调递增区间为［4k+2，4k+4］(k∈Z)

7．单调性

正弦函数在每一个闭区间［－+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k+1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

6．奇偶性

y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数

正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称

5．周期性

正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π

4．值域

正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］

其中正弦函数y=sinx,x∈R

①当且仅当x＝+2kπ，k∈Z时，取得最大值1

②当且仅当x＝－+2kπ，k∈Z时，取得最小值－1

而余弦函数y＝cosx，x∈R

①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1

②当且仅当x＝(2k+1)π，k∈Z时，取得最小值－1

3．定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，+∞)］，

分别记作： y＝sinx，x∈R　　 y＝cosx，x∈R

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法)：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

(0,0)　 (,1)　 (p,0)　 (,-1)　 (2p,0)

余弦函数y=cosx　 xÎ[0,2p]的五个点关键是

(0,1)　 (,0)　 (p,-1)　 (,0)　 (2p,1)

1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

21.(13分) 已知函数。

(1)若时，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；

(2)在(1)的结论下，设函数，求函数的最小值

20. (13分)已知奇函数的定义域是,且,当时,

.

(1)求证:是周期函数;

(2)求在区间上的解析式;

(3)求方程的根的个数.