Question

把质数373按数位拆开（不改变各数之间的顺序），只能得到3、7、37、73这四个数，它们仍然都是质数，请找出所有具有这种性质的质数．

Answer 1

考点：质数与合数问题

专题：数的整除

分析：从表面上看，这样的素数要从众多大小不一的素数里找出来，是件十分困难的事，其实只要使用“排除法”即可简便地求出．
 首先，我们去掉不可能采用的数字．
 1．在各个数位上都不能采用数字1、4、6、8、9，否则，拆成一位数时，
可能出现上述四个数，都不是素数．
 2．除首位外，各数位上不能有数字2和5．否则，将可能与它前一位或前几位数组成大于2的偶数或能被5整除的数．由此看来，可采用的数字只有2、5、3、7．其中2和5只能出现在首位上，且每个数字不可能连续出现在相邻数位上（如233肯定不行）．这样一来，需要检查的数的范围就小多了．据此分两种情况来进行析讨论可．

解答： 解：从表面上看，这样的素数要从众多大小不一的素数里找出来，是件十分困难的事，其实只要使用“排除法”即可简便地求出．
 首先，我们去掉不可能采用的数字．
 1．在各个数位上都不能采用数字1、4、6、8、9，否则，拆成一位数时，
可能出现上述四个数，都不是素数．
 2．除首位外，各数位上不能有数字2和5．否则，将可能与它前一位或前几位数组成大于2的偶数或能被5整除的数．由此看来，可采用的数字只有2、5、3、7．其中2和5只能出现在首位上，且每个数字不可能连续出现在相邻数位上（如233肯定不行）．这样一来，需要检查的数的范围就小多了．据此分两种情况来进行析讨论可． 
1．不超过三位数时所有可能满足条件的数共有12个，它们是23、27、237、273，37、373，53、57、537、573，73、737．．在这12个数中经验证，除了是3或11的倍数外，只有23、37、53、73、373
这五个数是素数且满足题目要求．
 2．当组成的数大于三位数时，以四位数为例（大于四位数时同理）．若首位上是2或5，则有2373、5373、2737、5737这四种数．而2737和5737由于737不是素数被排除，2373和5373各数位上数字之和为3的倍数，即能被3整除，排除．若首位上不出现2或5，则可供选用的数字只有3和7，所组成的数也只有3773、7337（某数字在相邻数位上出现）和3737、7373（两数字间隔出现）这两类数．而这两类数显然不符合可拆素数的要求，应排除在外．
所以，四位和四位以上的可拆素数是没有的．因此，可拆素数一共只有23、37、53、73、373这五个数．

点评：完成本题要细心，根据质数的性质及数的整除特征通过排除法认真分析完成．