Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN，则下列选项中的结论错误的是（　　）

A. △ONC≌△OAM

B. 四边形DAMN与△OMN面积相等

C. ON=MN

D. 若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，+1）

Answer 1

【答案】C

【解析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S△ONC=S△OAM=k，即OCNC=OAAM，而OC=OA，则NC=AM，再根据“SAS”可判断△OCN≌△OAM；根据S△OND=S△OAM=k和S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，即可得到S四边形DAMN=S△OMN；

根据全等的性质得到ON=OM，由于k的值不能确定，则∠MON的值不能确定，无法确定△ONM为等边三角形，则ON≠MN；作NE⊥OM于E点，则△ONE为等腰直角三角形，设NE=x，则OM=ON=x，EM=x-x=（-1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x2=2+，所以ON2=（x）2=4+2，易得△BMN为等腰直角三角形，得到BN=MN=，设正方形ABCO的边长为a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值为+1，从而得到C点坐标为（0，+1）．

∵点M、N都在y=的图象上，

∴S△ONC=S△OAM=k，即OCNC=OAAM，

∵四边形ABCO为正方形，

∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，

∴NC=AM，

∴△OCN≌△OAM，

∴A正确；

∵S△OND=S△OAM=k，

而S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，

∴四边形DAMN与△MON面积相等，

∴B正确；

∵△OCN≌△OAM，

∴ON=OM，

∵k的值不能确定，

∴∠MON的值不能确定，

∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，

∴ON≠MN，

∴C错误；

作NE⊥OM于E点，如图所示：

∵∠MON=45°，∴△ONE为等腰直角三角形，

∴NE=OE，

设NE=x，则ON=x，

∴OM=x，

∴EM=x-x=（ -1）x，

在Rt△NEM中，MN=2，

∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（ -1）x]2，

∴x2=2+，

∴ON2=（x）2=4+2，

∵CN=AM，CB=AB，

∴BN=BM，

∴△BMN为等腰直角三角形，

∴BN=MN=，

设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a-，

在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，

∴a2+（a-）2=4+2，解得a1=+1，a2=-1（舍去），

∴OC=+1，

∴C点坐标为（0，+1），

∴D正确．

故选：C．