Question

15．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEF=75°；③BE+DF=EF；④${S_{正方形ABCD}}=2+\sqrt{3}$；⑤$tan∠AEB=2+\sqrt{3}$，其中正确的（　　）个．

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 根据三角形的全等的知识可以判断①正确；等边三角形的每个内角=60°判断②不正确；根据线段垂直平分线的知识可以判断③不正确；利用勾股定理求正方形边长得出面积等知识可以判断④正确；利用锐角三角函数得出⑤正确．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠AEF=60°，
∴②不正确；
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC-BE=CD-DF，
∴CE=CF，
∴①正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAD≠∠CAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③不正确；
∵EF=2，
∴CE=CF=$\sqrt{2}$，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
a²+（a-$\sqrt{2}$）²=4，
解得a=$\frac{\sqrt{2}±\sqrt{6}}{2}$（负值舍去），
∴a=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$
则a²=2+$\sqrt{3}$，
∴S_{正方形ABCD}=2+$\sqrt{3}$，
④说法正确；
∵a-$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠AEB=$\frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$=2+$\sqrt{3}$，
∴⑤正确；
∴正确的有①④⑤．
故选C．

点评 本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数的知识；解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题有一定难度．