Question

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=6，点C的坐标为（-9，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=2，OD=2BD，求直线DE的解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，是否存在点P，使以O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据勾股定理，可得BF、CF，根据线段的和差，可得B点坐标；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得OG、OG的长，根据待定系数法，可得直线的解析式；
（3）分类讨论：OE=OP，OE=EP，OP=EP，先由点在直线上，可设出P点坐标，根据线段的距离相等，可得方程，根据解方程，可得答案．

解答：解：（1）如图1：作BF⊥CO，

∵∠BCO=45°，BC=6，
∴CF=BF=3

2

，
∴OF=OC-CF=9-3

2

，
∴B点坐标为（3

2

-9，3

2

）；
（2）如图2：作DG⊥OC与G．
，
∵DG∥BF，
∴△ODG∽△OBF，
∴

OG

OF

=

DG

BF

=

OD

OB

．∬
∵OD=2BD，
∴

OG

OF

=

DG

BF

=

OD

OB

=

2

3

．
OG=

2

3

（3

2

-9）=2

2

-6，
DG=

2

3

×3

2

=2

2

∴点D坐标为（2

2

-6，2

2

），
∵OE=2，
∴E点坐标为（0，2），
设直线DE解析式为y=kx+b，
代入D，E得：

b=2 (2 2 -6)k+b=2 2

，
解得

k= 1-2 2 7 b=2

．
直线DE解析式为y=

1-2 2

7

x+2；
（3）设P（a，

1-2 2

7

a+2），
①当OE=OP时，即OE²=OP²，2²+（

1-2 2

7

a+2）²=2²=4，化简，得

1-2 2

7

a+2=0，
解得a=2+4

2

，

1-2 2

7

a+2=0，即P₁（2+4

2

，0）；
②当OE=EP时，OE²=EP²，a²+（

1-2 2

7

a+2-2）²=2²=4，化简，得

29-2 2

49

a²=2，
解得a=±

7

833

49964+2332 2

，
当a=

7

833

49964+2332 2

时，

1-2 2

7

a+2=

(2-4 2 ) 49964+2332 2

833

，
P₂（

7

833

49964+2332 2

，

(2-4 2 ) 49964+2332 2

833

）
当a=-

7

833

49964+2332 2

时，

1-2 2

7

a+2=

(4 2 -2) 49964+2332 2

833

，
P₃（-

7

833

49964+2332 2

，

(4 2 -2) 49964+2332 2

833

）
③当OP=EP时，即0P²=EP²，a²+（

1-2 2

7

a+2-2）²=a²+（

1-2 2

7

a+2）²，
化简，得

1-2 2

7

a=0，解得a=0

1-2 2

7

a+2=2，P（0，2）与E点重合，不能与O、P、E为顶点无法形成三角形，P（0，2）（不符合题意的要舍去），
综上所述：P₁（2+4

2

，0）；P₂（

7

833

49964+2332 2

，

(2-4 2 ) 49964+2332 2

833

）；P₃（-

7

833

49964+2332 2

，

(4 2 -2) 49964+2332 2

833

）．

点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了勾股定理，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义，计算量大，需认真计算．