Question

15．如图，PA切⊙O于点A，PO及其延长线交⊙O于B、C两点，且点B是线段PO的中点．过A点作AD∥BC，交⊙O于点D，连接AB、OD、CD．
（1）求∠P的度数；
（2）求证：四边形ABOD是菱形；
（3）若⊙O的半径等于1，求四边形APCD的周长．

Answer 1

分析 （1）连接AO，根据切线的性质得到∠PAO=90°，由点B是线段PO的中点，得到PB=OB，得到OP=2OA，由于OP=2AB，推出△ABO是等边三角形，即可得到结论；
（2）由（1）知∠AOB=60°，根据平行线的性质得到∠OAD=60°，证得△ADO是等边三角形，由于△ABO是等边三角形，于是得到AB=OB=OD=DA，即可得到结论；（3）由（1）知∠AOB=∠AOD=60°，于是得到∠COD=60°，由于OC=OD，推出△COD是等边三角形根据勾股定理得到PA=$\sqrt{P{O}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，几款得到结果．

解答 解：（1）连接AO，
∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAO=90°，
∵点B是线段PO的中点，
∴PB=OB，
∴OP=2OA，∵OP=2AB，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO=60°，∴∠P=30°；

（2）由（1）知∠AOB=60°，
∵AD∥BC，
∴∠OAD=60°，
∵OA=OD，
∴△ADO是等边三角形，
∵△ABO是等边三角形，
∴AB=OB=OD=DA，
∴四边形ABOD是菱形；

（3）由（1）知∠AOB=∠AOD=60°，
∴∠COD=60°，
∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∵⊙O的半径等于1，
∴OP=2，AO=OC=CD=DA=1，
∴PA=$\sqrt{P{O}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴四边形APCD的周长=PC+CD+DA+AP=5$+\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，连接OA，构造直角三角形是解题的关键．