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【题目】综合与实践

观察猜想

如图1,有公共直角顶点的两个不全等的等腰直角三角尺叠放在一起,点上,点.

1)在图1中,你发现线段的数量关系是___________,直线的位置关系是________.

操作发现

2)将图1中的绕点逆时针旋转一个锐角得到图2,这时(1)中的两个结论是否成立?作出判断并说明理由;

拓广探索

3)如图3,若只把有公共直角顶点的两个不全等的等腰直角三角尺改为有公共顶角为(锐角)的两个不全等等腰三角形绕点逆时针旋转任意一个锐角,这时(1)中的两个结论仍然成立吗?作出判断,不必说明理由.

【答案】1;(2)将图1中的绕点逆时针旋转一个锐角时,两个结论成立.理由见解析;(3)结论成立;结论不成立.

【解析】

1)根据△ABC和△ADE是等腰直角三角形,得到AB=ACAD=AE,∠A=90°,即可得出结论;

2)由旋转的性质得到∠DAB=EAC.根据SAS证明△ABD≌△ACE,根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE.延长DB,交CE于点F,交AE于点O.由全等三角形对应角相等得到∠ADB=AEC.根据三角形内角和定理和对顶角相等,得到∠OFE=OAD=90°,即可得出结论.

3)类似(2)可得BD=CE成立,BDCE不成立.

1)∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∴AB=ACAD=AE,∠A=90°,∴BD=CEBDCE

故答案为:BD=CEBDCE

2)将图1中的△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角时,两个结论成立.理由如下:

由旋转得:∠DAB=EAC

又∵AB=ACAD=AE

∴△ABD≌△ACESAS).

BD=CE

如图,延长DB,交CE于点F,交AE于点O

∵△ABD≌△ACE

∴∠ADB=AEC

∵∠AOD=EOF

∴∠OFE=OAD

∵∠OAD=90°,

∴∠DFE=90°,即BDCE

3)结论BD=CE成立,结论BDCE不成立.理由如下:

由旋转得:∠DAE=BAC

∴∠DAB=EAC

又∵AB=ACAD=AE

∴△ABD≌△ACESAS).

BD=CE

延长DBCEMBDAE交于点N

∵△ABD≌△ACE,∴∠MEA=BDA

∵∠ENM=DNA,∴∠EMN=EAD

∵∠EAD90°,∴∠EMN90°,∴BDCE不成立.

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