Question

5．如图，直线$y=\frac{1}{2}x$与双曲线$y=\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）交于点A，将直线$y=\frac{1}{2}x$向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线$y=\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）交于点B．
（1）设点B的横坐标分别为b，试用只含有字母b的代数式表示k；
（2）若OA=3BC，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质得出平移后直线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+4，由点B在直线y=$\frac{1}{2}$x+4上，所以B（b，$\frac{1}{2}$b+4），点B在双曲线$y=\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）上，所以B（b，$\frac{k}{b}$），从而得出$\frac{1}{2}$b+4=$\frac{k}{b}$，整理即可求得；
（2）分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，再设设A（3x，$\frac{3}{2}$x），由于OA=3BC，故可得出B（x，$\frac{1}{2}$x+4），再根据反比例函数中k=xy为定值求出k的值即可．

解答 解：（1）∵将直线$y=\frac{1}{2}x$向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，
∴平移后直线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+4，
∵点B在直线y=$\frac{1}{2}$x+4上，
∴B（b，$\frac{1}{2}$b+4），
∵点B在双曲线$y=\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）上，
∴B（b，$\frac{k}{b}$），
∴$\frac{1}{2}$b+4=$\frac{k}{b}$，
∴k=$\frac{1}{2}$b²+4b；
（2）分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x，$\frac{3}{2}$x），
∵OA=3BC，BC∥OA，CF∥x轴，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF=$\frac{1}{3}$OD，
∵点B在直线y=$\frac{1}{2}$x+4上，
∴B（x，$\frac{1}{2}$x+4），
∵点A、B在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴3x•$\frac{3}{2}$x=x•（$\frac{1}{2}$x+4），解得x=1，
∴k=3×1×$\frac{3}{2}$×1=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，平移的性质，函数图象上点的坐标特征，（2）根据题意作出辅助线，设出A、B两点的坐标，再根据k=xy的特点求出k的值即可．