Question

【题目】抛物线（为常数，）经过点，且关于直线对称，是抛物线与x轴的一个交点.有下列结论：①方程的一个根是x=-2；②若，则；③若时，方程有两个相等的实数根，则；④若时，，则.其中正确结论的个数是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

抛物线经过点，且关于直线对称，可得c=2， b=2a，将x=-2代入即可判断①；根据函数的图像及是抛物线与x轴的一个交点.且，得当x=1时y=3a+2，当x=2时y=8a+2，则可判断②; 若时，方程为：,求出判别式大于零，则可判断③；求出时，y的范围，并使得其左右端点与的对应端点相等，即可判断④.

解：∵抛物线经过点，且关于直线对称，

∴根据抛物线的对称性可得图象经过（-2，0）且c=2；

∴方程的一个根是x=-2，故①正确；

∵抛物线的对称轴是直线

∴-=-1，∴b=2a；

∴抛物线为：；

∵是抛物线与x轴的一个交点.且

∴当x=1时y=3a+2，当x=2时y=8a+2；

∴，故②正确；

∵若时，方程为：

∴，∵，∴

∴方程有两个相等的实数根，故③正确；

∵抛物线的对称轴是直线

∴当x=-1时y有最大值为：-a+2，且x=与x=的函数值相等，

∵抛物线开口向下，当x时，y随x的增大而减小，

∴当x=0时，y的函数值为：2，

∵若时，，

∴-a+2=3，∴a=-1，故④正确；

故选：D．