Question

有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形（如图1），且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图2，如此继续“生长”下去，则“生长”第k次后所有正方形的面积和为（　　）

• A、k
• B、k+1
• C、k²
• D、（k+1）²

Answer 1

考点：勾股定理

专题：

分析：根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积之和等于2；依此类推，经过k次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（k+1）倍，进而得问题答案．

解答：解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a²+b²=c²，
即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1
所有正方形的面积之和为2=（1+1）×1；
正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，
正方形M的面积+正方形N的面积=正方形B的面积，
正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积，
=正方形A的面积+正方形B的面积
=正方形C的面积
=1，
所有正方形的面积之和为3=（2+1）×1，
…
推而广之，“生长”了k次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（k+1）×1=k+1．
故选B．

点评：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．