Question

如图，正方形ABCD中，Q是边DC的中点，P是边BC的四等分点．求证：
（1）△DAQ∽△CQP；
（2）AQ⊥PQ．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：（1）由条件可知PC=

1

4

BC，DQ=

1

2

CD=

1

2

BC，可得

PC

DQ

=

CQ

AD

，可证明△DAQ∽△CQP；
（2）由（1）可得∠AQD=∠QPC，且∠QPC+∠PQC=90°，可得∠AQP=90°，可得结论．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD=BC，∠D=∠C，
∵Q是边DC的中点，P是边BC的四等分点，
∴PC=

1

4

BC，DQ=

1

2

CD=

1

2

BC，
∴

PC

DQ

=

CQ

AD

，
∴△DAQ∽△CQP；
（2）∵△DAQ∽△CQP，
∴∠AQD=∠QPC，且∠QPC+∠PQC=90°，
∴∠AQD+∠PQC=90°，
∴∠AQP=90°，
∴AQ⊥PQ．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．