Question

如图，∠BAC=45°，BD：DC：BC=3：4：5，AD=4，∠ABC+∠ABD=180°，∠ACB+∠ACD=180°，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：如图，作翻折变换，证明E、B、C、F四点共线，进而证明△EAF为等腰直角三角形，求出其面积；证明△BDC为直角三角形，求出其面积，问题即可解决．

解答：解：∵BD：DC：BC=3：4：5，
∴设BD=3λ，则DC=4λ，BC=5λ；
如图，将△ABD、△ACD分别沿AB、AC折叠，得到△ABE和△ACF；
则∠ABE=∠ABD，∠ACD=∠ACF；
AE=AD=4，AF=AD=4；∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC；
∵∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°
∵∠ABC+∠ABD=180°，∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ABC+∠ABE=180°，∠ACB+∠ACF=180°，
∴E、B、C、F四点共线；
∵∠EAF=90°，
∴△EAF为等腰直角三角形，
∴△AEF的面积=

1

2

AE•AF=

1

2

×4×4=8；
∵（3λ）²+（4λ）²=（5λ）²，
∴△BDC为直角三角形；
EF=3λ+4λ+5λ=12λ；
由勾股定理得：（12λ）²=4²+4²，
解得：λ=

2

3

，BD=

2

，DC=

4 2

3

，
∴△BDC的面积=

1

2

×

2

×

4 2

3

=

4

3

；
设△ABD、△ADC、△BDC的面积分别为x，y，z；
∵x+y+（x+y）-z=8，而z=

4

3

，
∴x+y=

14

3

，
即四边形ABCD的面积为

14

3

．

点评：该命题以三角形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等几何知识点为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．