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【题目】如图,在ABC中,∠ACB=90°tanA=AC=6,以BC为斜边向右侧作等腰直角EBCPBE延长线上一点,连接PC,以PC为直角边向下方作等腰直角PCDCD交线段BE于点F,连接BD

1)求证:PCCD=CEBC

2)若PE=n0n≤4),求BDP的面积;(用含n的代数式表示)

3)当BDF为等腰三角形时,请直接写出线段PE的长度.

【答案】1)证明见解析;(2S=2n2+n0n≤4);(34-44

【解析】

(1)PCDEBC都是等腰直角三角形,得出CD=PCBC=CE,即可得出结论;

(2)PHBDH,首先利用四点共圆证明∠CBD=90°,再证明CBD∽△CEP,求出BDPH即可得出结果;

(3)分两种情形:①当BF=BD时,∠BDF=67.5°,在BC上取一点G,使得BG=BD,由BG+CG=BC构建方程即可得出结果;②当FB=FD时,∠FBD=FDB=45°,此时BD=BC=4,点E与点F重合,即可得出结果.

(1)∵△PCD,△EBC都是等腰直角三角形,

CD=PCBC=CE

====

=

(2)如图1中,作PHBDH

∵△PCDEBC都是等腰直角三角形,

∴∠PCD=BCE=45°,∠PBC=PDC=45°

BCPD四点共圆,

∴∠DBP=PCD=45°

∴∠CBD=DBP+PBC=45°+45°=90°,△PBH是等腰直角三角形,

∵∠BCE=DCP=45°

∴∠BCD=ECP

∵∠CEP=CBD=90°

∴△CBD∽△CEP

==

PE=n

BD=n

tanA==AC=6

BC=4

EC=BE=4

PB=4+nPH=BH=(4+n)

SBDP=BDPH=×(4+n)=2n2+n(0n≤4)

(3)①如图2中,当BF=BD时,在BC上取一点G,使得BG=BD

∵∠PBD=45°

∴∠BDF=67.5°

∵∠CBD=90°

∴∠BDG=BGD=45°

∴∠BCD=GDC=22.5°

GC=GD

PE=nBD=n

BG=nCG=DG=BG=2n

BG+CG=BC=4

n+2n=4

n=4-4

PE=4-4

②如图3中,当FB=FD时,则∠FBD=FDB=45°

此时BD=BC=4

∵∠CDP=45°

∴∠BDP=90°

∵∠CPD=90°,∠CBD=90°

∴四边形CBDP为正方形,EF点重合,

PE=BE=4

综上所述,线段PE的长度为:4-44

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A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

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