【题目】已知在平面直角坐标系中,直线分别交轴和轴于点.
(1)如图1,已知经过点,且与直线相切于点,求的直径长;
(2)如图2,已知直线分别交轴和轴于点和点,点是直线上的一个动点,以为圆心,为半径画圆.
①当点与点重合时,求证: 直线与相切;
②设与直线相交于两点, 连结. 问:是否存在这样的点,使得是等腰直角三角形,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) 的直径长为;(2) ①见解析;②存在这样的点和,使得是等腰直角三角形.
【解析】
(1)连接BC,证明△ABC为等腰直角三角形,则⊙P的直径长=BC=AB,即可求解;
(2)过点作于点,证明CE=ACsin45°=4×=2 =圆的半径,即可求解;
(3)假设存在这样的点,使得是等腰直角三角形,分点在线段上时和点在线段的延长线上两种情况,分别求解即可.
(1)如图3,连接BC,
∵∠BOC=90°,
∴点P在BC上,
∵⊙P与直线l1相切于点B,
∴∠ABC=90°,而OA=OB,
∴△ABC为等腰直角三角形,
则⊙P的直径长=BC=AB=3
(2)如图4过点作于点,
图4
将代入,得,
∴点的坐标为.
∴,
∵,
∴.
∵点与点重合,
又的半径为,
∴直线与相切.
②假设存在这样的点,使得是等腰直角三角形,
∵直线经过点,
∴的函数解析式为.
记直线与的交点为,
情况一:
如图5,当点在线段上时,
由题意,得.
如图,延长交轴于点,
图5
∵,
∴,
即轴,
∴点与有相同的横坐标,
设,则,
∴.
∵的半径为,
∴,
解得,
∴,
∴的坐标为.
情况二:
当点在线段的延长线上时,同理可得,的坐标为.
∴存在这样的点和,使得是等腰直角三角形.
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【题目】拋物线分别交轴于点,交轴于点.抛物线的对称轴与轴相交于点,直线与抛物线的对称轴相交于点.
(1)直接写出抛物线的解折式和点的坐标;
(2)如图1,点为线段上的动点,点为线段上的动点,且.在点,点移动的过程中,是否有最小值?如果有,请求出最小值;
(3)以点为旋转中心,将直线绕点逆时针旋转,旋转角为 (),直线旋转时,与抛物线的对称轴相交于点,与抛物线的另一个交点为点.
①如图2,当直线旋转到与直线重合时,判断线段的数量关系?并说明理由
②当为等腰三角形时,请直按写出点的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,以为直角边作,并使,再以为直角边作,并使,再以为直角边作,并使…按此规律进行下去,则点的坐标为_______.
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【题目】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出( )
A.直角三角形的面积
B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积
D.最大正方形与直角三角形的面积和
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【题目】如图1,经过等边的顶点,(圆心在内),分别与,的延长线交于点,,连结,交于点.
(1)求证:.
(2)当,时,求的长。
(3)设,.
①求关于的函数表达式;
②如图2,连结,,若的面积是面积的10倍,求的值.
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【题目】某地是国家AAAA级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD,想法测出了尾部C看头顶B的仰角为,从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好,,.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是.于是,他们很快就算出了AB的长.你也算算?(结果精确到.参考数据:.)
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【题目】数学课上,老师提出问题:“一次函数的图象经过点A(3,2),B(-1,-6),由此可求得哪些结论?”小明思考后求得下列4个结论:①该函数表达式为y=2x-4;②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大;③点P(2a,4a-4)在该函数图象上;④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为8.其中错误的结论是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,tanA=,AC=6,以BC为斜边向右侧作等腰直角△EBC,P是BE延长线上一点,连接PC,以PC为直角边向下方作等腰直角△PCD,CD交线段BE于点F,连接BD.
(1)求证:PC:CD=CE:BC;
(2)若PE=n(0<n≤4),求△BDP的面积;(用含n的代数式表示)
(3)当△BDF为等腰三角形时,请直接写出线段PE的长度.
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