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【题目】如图,在菱形ABCD中,连结BDAC交于点O,过点O于点H,以点O为圆心,OH为半径的半圆交AC于点M

①求证:DC是⊙O的切线.

②若,求图中阴影部分的面积.

③在②的条件下,P是线段BD上的一动点,当PD为何值时,的值最小,并求出最小值.

【答案】①证明见解析;②

【解析】

①作,证明OH为圆的半径,即可求解;

②利用,即可求解;

③作M关于BD的对称点N,连接HN交BD于点P,,此时最小,即可求解.

解:①过点O作,垂足为G,

在菱形ABCD中,AC是对角线,则AC平分∠BCD,

∴OH、OG都为圆的半径,即DC是⊙O的切线;

②∵

在直角三角形OHC中,

③作M关于BD的对称点N,连接HN交BD于点P,

,此时最小,

即:PH+PM的最小值为

在Rt△NPO中,

在Rt△COD中,

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,且点E的中点,则DF的长为   

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