【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+4ax+c(a<0)的图像与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为点D,DH⊥x轴于H与AC交于点E.连接CD、BC、BE.若S△CBE∶S△ABE=2∶3,
(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)连结BD,是否存在数值a,使得∠CDB=∠BAC?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由;
(3)若AC恰好平分∠DCB,求二次函数的表达式.
【答案】(1) (-5,0);(1,0);(2)不存在;理由见解析;(3)y=-x2-x+
【解析】
(1)由 可得,即可求得,求出设直线EC的函数解析式为,求出A(-5,0),利用A、B关于抛物线对称轴对称即可得出B(1,0);
(2)求出OC=-5a,DH=-9a,可得tan∠BAC==-a,过点B作BF⊥BD交DC延长线于点F,过点F作FG⊥x轴于点G,由△BFG∽△DBH,利用相似三角性质可求得,由 ,求得a=0,故不存在;
(3)连结AD,可得S△ACD=S△ABC,由AC平分∠DCB,可得CD=BC,列出方程,求得a=,即可得出答案.
(1)∵y=ax2+4ax+c
∴抛物线的对称轴为x=-2
依题意得C(0,c)
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
设直线EC的函数解析式为
∴
∴
∴
当y=0时,
∴x=-5
∴A(-5,0)
∵A、B关于直线x=-2对称
∴B(1,0)
故答案为:A(-5,0),B(1,0)
(2)将B(1,0)代入表达式得,c=-5a,
∴OC=-5a,DH=-9a
∴tan∠BAC==-a
过点B作BF⊥BD交DC延长线于点F,
过点F作FG⊥x轴于点G
△BFG∽△DBH
∴=tan∠BAC
=tan∠BAC=-a
∴
∵ ,
∴,a=0,
∴不存在
(3)解:连结AD,EH=OC=-3a,
∴S△ACD=·DE·(xC-xA) =-15a
S△ABC=·AB·OC =-15a,
∴S△ACD=S△ABC
∵AC平分∠DCB,
∴CD=BC
∴4+16a2=1+25a2
解得,a1=-,a2=
∵a<0,
∴a=
∴y=-x2-x+
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD,连接CD交AB于点M.E是线段CM上的点,连接BE.F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点,连接EF,BF,
(1)求证:△BEF是直角三角形;
(2)求证:△BEF∽△BCA;
(3)当AB=6,BC=m时,在线段CM正存在点E,使得EF和AB互相平分,求m的值.
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【题目】九年级复学复课后,某校为了了解学生的疫情防控意识情况,在全校九年级随机抽取部分学生进行问卷调查.根据调查结果,把学生的防控意识分成“A.很强”、“B.较强”、“C.一般”、“D.淡薄”四个层次,将调查的结果绘制如下两幅不完整的统计图,请根据图中的信息,解答下列问题:
(1)本次共调查了 名学生,并将条形统计图补充完整;
(2)如果把疫情防控意识“很强或较强”视为合格,该校九年级共有600名学生,请你估计合格的学生约有多少名?
(3)在“A.很强”的3人中,有2名女生,1名男生,老师想从这3人中任选两人做宣传员,请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男生一女生的概率.
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【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点(不与端点重合),将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.给出下列判断:①∠EAG=45°;②若DE=a,则AG∥CF;③若E为CD的中点,则△GFC的面积为a2;④若CF=FG,则;⑤BGDE+AFGE=a2.其中正确的是____________.(写出所有正确判断的序号)
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【题目】疫情期间,“线上教学”为我们提供了复习的渠道.学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢线上教学”进行了问卷调查,并将调查结果统计后绘制成如下统计表和统计图.
调查结果统计表
类别 | 非常喜欢 | 喜欢 | 一般 | 不喜欢 |
频数 | a | 70 | 20 | 10 |
频率 | 0.5 | b | 0.15 |
调查结果扇形统计图
(1)在统计表中,a= ;b= ;
(2)在扇形统计图中,对线上教学感觉“一般”所对应的圆心角度数为 ;
(3)已知全校共有3000名学生,试估计“喜欢”线上教学的学生人数.
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【题目】完全平方公式是初中数学的重要公式之一:,完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式,在学习中芳芳同学发现也可以用完全平方公式进行分解因式,;根据以上发现解决问题
(1)写出一个上面相同的式子,并进行分解因式;
(2)若,请用,表示,
(3)如图在中,,,,延长至点,使,求的长(参考上面提供的方法把结果进行化简)
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【题目】如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2014次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )
A.(-2012,2)B.(-2012,-2)C.(-2013,-2)D.(-2013,2)
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