Question

【题目】如图，二次函数的图象与x轴相较于A.B两点，与y轴相交于点C（0，-3），抛物线的对称轴为直线x=1.

（1）求二次函数的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，点E在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线AE交对称轴于点F，试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；

（3）若点M在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点A，E，M，P为顶点且以AE为一边的平行四边形？若存在，请求出所有满足要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝x22x3．（2）四边形EFCD是正方形，理由见解析；P点坐标为（1＋，3）或（1，3）或（0，3）

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴为直线x=1得，求出b，再根据C（0，-3）求出c=-3即可；

（2）结论四边形EFCD是正方形．如图1中，连接CE与DF交于点K．求出E、F、D、C四点坐标，只要证明DF⊥CE，DF＝CE，KC＝KE，KF＝KD即可证明．

（3）如图2中，存在以A，E，M，P为顶点且以AE为一边的平行四边形．根据点P的纵坐标为3或3，即可解决问题．

（1）∵二次函数的图象与x轴相较于A.B两点，与y轴相交于点C（0，-3），抛物线的对称轴为直线x=1.

∴

∴b=-2,

∵C（0，-3）

∴c=-3．

∴抛物线的解析式为y＝x22x3．

（2）结论：四边形EFCD是正方形．

理由：如图1中，连接CE与DF交于点K．

∵y＝（x1）24，

∴顶点D（1，4），

∵C、E关于对称轴对称，C（0，3），

∴E（2，3），

∵A（1，0），

设直线AE的解析式为y＝kx＋b，则

，解得，

∴直线AE的解析式为y＝x1．

∴F（1，2），

∴CK＝EK＝1，FK＝DK＝1，

∴四边形EFCD是平行四边形，

又∵CE⊥DF，CE＝DF，

∴四边形EFCD是正方形．

（3）如图2中，存在以A，E，M，P为顶点且以AE为一边的平行四边形．

由题意点P的纵坐标为3或3，

当y＝3时，x22x3＝3，解得x＝1±，

可得P1（1＋，2），P2（1，2），

当y＝2时，x＝0，可得P3（0，3），

综上所述当P点坐标为（1＋，3）或（1，3）或（0，3）时，存在以A，E，M，P为顶点且以AE为一边的平行四边形．