Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，S△AOB＝．

（1）求b的值；

（2）点C以每秒1个单位长度的速度从O点出发沿x轴向点B运动，点D以每秒2个单位长度的速度从A点出发沿y轴向点O运动，C，D两点同时出发，当点D运动到点O时，C，D两点同时停止运动．连接CD，设点C的运动时间为t秒，△CDO的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）条件下，过点C作CE⊥CD交AB于点E，过点D作DF∥x轴交AB于点F，过点F作FH⊥CE，垂足为H．在CH上取点M，使得MH：HE＝8：33，连接FM，若∠FMH＝∠FEH，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）b＝9；（2）S＝﹣t2+；（3）t＝1

【解析】

（1）由直线解析式可得A、B两点坐标，根据△AOB的面积列方程解出b的值．

（2）分别用t表示OC和OD的长即可得到S与t的表达式．

（3）首先根据题意画出示意图，然后根据所给定的线段等量关系与角度等量关系推导出∠FEM的正切值，过点E作GP⊥OB于P交DF的延长线于点G，可以推证∠DEG＝∠FEM，于是利用∠DEG的正切值列出比例方程，最后解出t的值．

解：（1）如图1，

∵直线y＝﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，

∴A（0，b），B（b，0）

∴OA＝OB＝b，

∴S△AOB＝＝．

∴b＝9或-9（不符合与y轴的交点，舍去负值）．

（2）如图2，

由题意知OC＝t，AD＝2t，则OD＝OA﹣AD＝9﹣2t，

∴S＝ODOC＝t（9﹣2t）＝﹣t2+．

（3）∵＝，

∴设MH＝8k，HE＝33k，

如图3，在HE上截取HN＝MH＝8k，连接FN，

则EN＝EH﹣HN＝25k，

∵FH⊥CE于H，

∴FM＝FN，∠FME＝∠FNM，

∵∠FME＝∠FEM，

∴设∠FEM＝2α，∠FME＝3α，

∴∠FNM＝3α，

∵∠FNM＝∠NFE+∠FEN，

∴∠NFE＝∠FNM﹣∠FEM＝3α﹣2α＝α，

在FE上取一点Q，连接NQ，使NQ＝NE＝25k，

则∠NQE＝∠FEM＝2α，

∵∠NQE＝∠NFE+∠QNF＝α+∠QNF，

∴∠NF＝α＝∠NFE，

∴FQ＝NQ＝25k，

作NR⊥QE于R，则QR＝RE＝n，

∴FE＝FQ+QE＝25k+2n，

∵cos∠FEH＝cos2α＝＝，

∴＝，

解得n＝15k，

∴QR＝RE＝15k，

∴NR＝＝20k，

∴tan2α＝＝．

过点E作GP⊥OB于P交DF的延长线于点G，

∴∠CPE＝∠BPE＝90°，

∵OA＝OB＝9，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

∴∠PEB＝45°，

∴BP＝PE，

∵DF∥OB，

∴∠ODF＝∠ADF＝90°，

∴四边形DOPG为矩形，

∴GP＝OD，DG＝OP，

作CT⊥OB交AB于T，交DF于K，连接DT，

则ODKC为矩形，△CTB为等腰直角三角形，

∴DK＝OC＝t，CK＝OD，CT＝CB，

∵∠FDA＝90°，∠FAF＝45°，

∴△ADF为等腰直角三角形，

∴DF＝AD＝2OC＝2t，

∴K为DF中点，

∴T为AF中点，

∴△DTF为等腰直角三角形，

∴∠DTK＝∠FTK＝45°，

∵DC⊥CE，

∴∠DCT+∠TCE＝∠TCE+∠BCE＝90°，

∴∠DCT＝∠ECB，

在△DCT和△ECB中：

∴△DCT≌△ECB（ASA），

∴CD＝CE，

∴△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CED＝45°，

∵∠DCO+∠ECP＝∠DCO+∠ODC＝90°，

∴∠ODC＝∠ECP，

在△DOC和△CPE中：

∴△DOC≌△CPE（AAS），

∴BP＝PE＝OC＝t，

∴DG＝OP＝OB﹣PB＝9﹣t，

∴FG＝DG﹣DF＝9﹣3t，

∵∠GFE＝∠AFD＝45°，∠GEF＝∠BEP＝45°，

∴DE＝GF＝9﹣3t，

∵∠DEG＝∠FEG+∠FED＝45°+∠FED＝∠DEC+∠FED＝∠FEM＝2α，

∴tan∠DEG＝＝＝，

解得t＝1．