Question

【题目】已知二次函数y=﹣x2+2x+k+2与x轴的公共点有两个．
（1）求k的取值范围；
（2）当k=1时，求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；
（3）观察图象，当x取何值时y＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函数y=﹣x2+2x+k+2与x轴有两个交点．
∴△=22﹣4×（﹣1）×（k+2）＞0
解得：k＞﹣3；
（2）解：当k=1时，二次函数是y=﹣x2+2x+3，
令y=0，得﹣x 2+2x+3=0，
解得：x 1=﹣1，x 2=3
∴抛物线与X轴的公共点A、B的坐标分别是（﹣1，0）、（3，0），
∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4
∴抛物线的顶点C的坐标是（1，4）
（3）解：由图象可知：当x=﹣1或x=3时，y=0；
当﹣1＜x＜3时，y＞0．

【解析】（1）抓住已知二次函数与x轴有两个交点得出b2-4ac＞0，列不等式求出解集即可。
（2）将k=1代入函数解析式求出二次函数解析式，再根据y=0，解关于x的一元二次方程，求出x的值，就可得出抛物线与X轴的公共点A、B的坐标；然后将二次函数解析式配方成y=a（x-h）2+k的形式，就可求出其顶点坐标。
（3）先根据顶点坐标，抛物线与x轴的交点坐标、抛物线与y轴的交点坐标画出函数图像，再观察图像y＞0，即是观察x轴上方的图像，就可写出自变量的取值范围。