Question

观察下面的变形规律：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想

1

n(n+1)

=

 

；
（2）证明你猜想的结论；
（3）计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2014×2015

+

1

2015×2016

．

Answer 1

考点：有理数的混合运算

专题：规律型

分析：（1）观察已知等式，写出猜想即可；
（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得证；
（3）原式利用拆项法变形后，抵消合并即可得到结果．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）已知等式右边=

n+1-n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

=左边，得证；
（3）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2015

-

1

2016

=1-

1

2016

=

2015

2016

．
故答案为：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．

点评：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．