[题目]如图①.已知△ABC中.AB＝AC.点P是BC上的一点.PN⊥AC于点N.PM⊥AB于点M.CG⊥AB于点G点．(1)则线段CG.PM.PN三者之间的数量关系是 ,(2)如图②.若点P在BC的延长线上.则线段CG.PM.PN三者是否还有上述关系.若有.请说明理由.若没有.猜想三者之间又有怎样的关系.并证明你的猜想,(3)如图③.点E在正方形ABCD的对角线AC上.且AE＝AD.点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图①，已知△ABC中，AB＝AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G点．

（1）则线段CG、PM、PN三者之间的数量关系是　；

（2）如图②，若点P在BC的延长线上，则线段CG、PM、PN三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想；

（3）如图③，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且AE＝AD，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，若正方形ABCD的面积是12，请直接写出PM+PN的值．

【答案】（1）CG＝PM+PN，理由见解析；（2）PM＝CG+PN．理由见解析；（3）PM+PN＝．

【解析】

（1）方法一：过P作PH垂直CG于H，可通过证明△PNC≌△PHC得出CG＝GH+HC＝PM+PN．

方法二：根据△ABC的面积＝△APB的面积+△APC的面积，可得结论；

（2）过C作CH垂直MP于H，可通过证明△PNC≌△PHC得出PM＝CG+PN．

（3）如图③，连接AP，过E作EF⊥AB于F，根据正方形ABCD的面积是12，得边长，根据△AEF是等腰直角三角形，得EF的长，根据面积法得：S△AEB＝S△AEP+S△ABP，可得结论．

（1）方法一：CG＝PM+PN，理由是：

如图①，过P作PH垂直CG于H，

∵PM⊥AB，CG⊥AB，

∴∠AMP＝∠MGH＝∠PHG＝90°，

∴四边形MPHG是矩形，

∴PM＝GH，PH∥AB，

∴∠HPC＝∠B，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∴∠HPC＝∠NCP，

又∵PH⊥CG，PN⊥AC，

∴∠PHC＝∠CNP＝90°，

∴△PHC≌△CNP（AAS），

∴CH＝PN，

∴CG＝GH+HC＝PM+PN．

方法二：PM+PN＝CG．理由是：

连接AP，则△ABC被分成△APB与△APC，

则△ABC的面积＝△APB的面积+△APC的面积，

即×AB×CG＝×AB×PM+×AC×PN，

∵AB＝AC，

∴PM+PN＝CG；

故答案为：PM+PN＝CG；

（2）PM＝CG+PN．理由是：

如图②，过C作CH垂直MP于H，

∠HPC+∠ABC＝90°，∠NPC+∠PCN＝90°，

∵∠ABC＝∠ACB＝∠PCN，

∴∠HPC＝∠NPC，

又PH⊥CG，PN⊥AC，

∴CH＝CN，

∵PC＝PC，

∴△PNC≌△PHC（HL），

∴PH＝PN，

由（1）同理得：CG＝MH，

∴PM＝PH+MH＝CG+PN．

（3）如图③，连接AP，过E作EF⊥AB于F，

∵正方形ABCD的面积是12，

∴AB＝AE＝2 ，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC＝45°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴EF＝＝，

∵S△AEB＝S△AEP+S△ABP，

∵AE＝AB，

∴PM+PN＝EF＝．

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