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【题目】如图,点O是等边ABC内一点,D是ABC外的一点,AOB=110°BOC=αBOC≌△ADC,OCD=60°,连接OD.

(1)求证:OCD是等边三角形;

(2)当α=150°时,试判断AOD的形状,并说明理由;

(3)AOD能否为等边三角形?为什么?

(4)探究:当α为多少度时,AOD是等腰三角形.

【答案】(1)、证明见解析;(2)、直角三角形、理由见解析;(3)、不能,理由见解析;(4)、α=110°或125°或140°

【解析】

试题分析:(1)、根据BOC≌△ADC得到OC=DC,结合OCD=60°,从而得出等边三角形;(2)、根据BOC≌△ADC,∠α=150°得到ADC=BOC=150°,根据等边三角形得到ODC=60°,从而得出ADO=90°,从而得到三角形的形状;(3)、由BOC≌△ADC,得ADC=BOC=∠α,当AOD为等边三角形时,则ADO=60°,结合ODC=60°得出ADC=120°,又根据AOD=DOC=60°得出AOC=120°,从而求出AOC+AOB+BOC360°,从而得到答案;(4)、根据OCD是等边三角形得到COD=ODC=60°,根据三角形的性质得出ADC=BOC=αAOD=190°αOAD=50°,然后分三种情况分别求出α的大小.

试题解析:(1)、∵△BOC≌△ADC,OC=DC.∵∠OCD=60°∴△OCD是等边三角形.

(2)、AOD是Rt.理由如下:

∵△OCD是等边三角形,∴∠ODC=60° ∵△BOC≌△ADC,∠α=150°∴∠ADC=BOC=∠α=150°

∴∠ADO=ADC-ODC=150°-60°=90°∴△AOD是Rt

(3)、不能 理由:由BOC≌△ADC,得ADC=BOC=∠α.

AOD为等边三角形,则ADO=60°,又ODC=60°∴∠ADC=∠α=120°.

AOD=DOC=60°∴∠AOC=120°,又∵∠AOB=110°

∴∠AOC+AOB+BOC=120°+120°+110°=350°<360° 所以AOD不可能为等边三角形.

(4)、∵△OCD是等边三角形,∴∠COD=ODC=60° ∵∠AOB=110°ADC=BOC=α

∴∠AOD=360°-AOB-BOC-COD=360°-110°-α-60°=190°-α ADO=ADC-ODC=α-60°

∴∠OAD=180°-AOD-ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°

AOD=ADO时,190°-α=α-60°∴α=125°

AOD=OAD时,190°-α=50°∴α=140°

ADO=OAD时,α-60°=50°∴α=110°

综上所述:当α=110°或125°或140°时,AOD是等腰三角形.

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