Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y＝2x2+x+1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．

（1）求抛物线C1的表达式；

（2）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；

（3）在（2）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ＝1且∠KNQ＝∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣1；（2）t的值为1或0；（3）满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）．

【解析】

（1）用待定系数法即可确定函数解析式；

（2）根据图形分∠ANM=90°和∠AMN=90°两种情况解答即可；

（3）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点，利用勾股定理进行计算．

（1）∵抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）

∴

解得：

∴抛物线C1：解析式为y＝x2+x﹣1

（2）∵动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M

∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1

∴MN＝（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）＝t2+2

①当∠ANM＝90°，AN＝MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）

∴AN＝t﹣（﹣2）＝t+2

∵MN＝t2+2

∴t2+2＝t+2

∴t1＝0（舍去），t2＝1

∴t＝1

②当∠AMN＝90°，AM＝MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）

∴AM＝t﹣（﹣2）＝t+2，

∵MN＝t2+2

∴t2+2＝t+2

∴t1＝0，t2＝1（舍去）

∴t＝0

故t的值为1或0；

（3）由（2）可知t＝1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：

易得K（0，3），B、O、N三点共线

∵A（﹣2，1），N（1，1），P（0，﹣1）

∴点K、P关于直线AN对称

设半径为1的⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）

∴Q2与点O关于直线AN对称

∴Q2是满足条件∠KNQ＝∠BNP．

则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1、Q2关于KN的对称点Q3、Q4也满足∠KNQ＝∠BNP．

由图形易得Q1（﹣1，3）

设点Q3坐标为（m，n），由对称性可知Q3N＝NQ1＝BN＝，

∵⊙K半径为1

∴

解得 或．

同理，设点Q4坐标为（m，n），由对称性可知Q4N＝NQ2＝NO＝，

∴

解得 或．

∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）．