Question

【题目】已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．

（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；

（2）如图2，若∠AOB=120，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析

【解析】

(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．
(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．

解：（1）结论：CF=CG；

证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；

（2）CF=CG.理由如下：如图，

过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，

∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120，

∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∴∠AOC=∠BOC=60（角平分线的性质），

∵∠DCE=∠AOC，

∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60，

∴∠MCO=90-60 =30，∠NCO=90-60 =30，

∴∠MCN=30+30=60，

∴∠MCN=∠DCE，

∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，

∴∠MCF=∠NCG，

在△MCF和△NCG中，

∴△MCF≌△NCG（ASA），

∴CF=CG（全等三角形对应边相等）；