【题目】如图,已知在平面直角坐标系中,直线AB: 与x轴、y轴分别交于B、A两点,等腰Rt△OCD,∠D=90°,C坐标为(﹣4,0).
(1)求A、B坐标;
(2)将△OCD沿x轴正方形平移,速度为1个单位为每秒,时间为t(0≤t≤6),设△OCD与△OAB重叠面积为S,请写出S与t之间的函数关系式;
(3)将△OCD绕O点旋转,当O、B、D三点构成的三角形为直角三角形时,请直接写出D点坐标.
【答案】(1), B(6,0);(2);(3)点D的坐标为 , , , .
【解析】
1)分别令x=0,解得点A的坐标,令y=0,解得点B的坐标.
(2)分情况讨论,利用特殊角度求得线段之间存在的数量关系,再计算重叠部分面积.
(3)分情况讨论,O为直角顶点,D为直角顶点,再利用等面积法求得线段长度.
解:(1)令x=0,y=2,
∴A(0,2),
令y=0,即﹣x+2=0,
解得x=6,
∴B(6,0).
(2)∵C(﹣4,0),
∴OC=4,
∵△COD为等腰直角三角形,
∴CD=OD,设CD为a,则OD为a,
在Rt△OCD中,根据勾股定理得,a2+a2=42,
解得a=2,
①当0≤t≤2时,
OO′=t,OM=t,
S=OO′OM=t2.
②2<t≤4时,
OO′=t,∴OC′=4﹣t,
∴OM=4﹣t,
S=×(2)2﹣OC′OM=4﹣(4﹣t)2=﹣t2+4t﹣4.
③当4<t≤8﹣2时,
S=×(2)2=4.
④8﹣2<t≤6时,
OO′=t,
∴BO′=6﹣t,
过M作MN垂直x轴,垂足为N,
设MN=NO′=x,
则BN=x,
∴x﹣x=6﹣t,
解得x=,
BC′=10﹣t,过点Q作x轴得垂线,垂足为P,
设PQ=PC′=y,则BP=y,
∴y+y=10﹣t,
解得y=,
∴S=BC′PQ﹣BO′MN=﹣t2+8t﹣2t+16﹣34.
综上:
(3)①如图所示,
此时D(0,2).
②如图所示,
此时D(0,﹣2).
③如图所示,
此时∠BDO=90°,OD=2,OB=6,
∴DB=2,
过D作DE垂直于x轴,垂足为点E,
ODDB=OBDE,
解得DE=,
∴OE=,
∴D(,).
④如图所示,
此时的点D与③中的点D关于x轴对称,
∴D.
综上,点D的坐标为 , , , .
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【题目】某超市在“元旦”活动期间,推出如下购物优惠方案:
①一次性购物在元(不含元)以内,不享受优惠;
②一次性购物在元(含元)以上,元(不含元)以内,一律享受九折优惠;
③一次性购物在元(含元)以上,一律享受八折优惠;
小敏在该超市两次购物分别付了90 元和270元,如果小敏把这两次购物改为一次性购物,则小敏至少需付款( )元
A.B.C.D.
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【题目】规定:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根是另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论: ①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程;
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程,则a=±3;
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0(a≠0)是倍根方程,则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是(2,0)和(4,0);
④若点(m,n)在反比例函数y=的图象上,则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程.
上述结论中正确的有( )
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④
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【题目】如图,是将抛物线y=-x2 平移后得到的抛物线,其对称轴为x=1,与x轴的一个交点为A(-1,0) ,另一交点为B,与y轴交点为C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点N 为抛物线上一点,且BC⊥NC,求点N的坐标;
(3)点P是抛物线上一点,点Q是一次函数y=x+的图象上一点,若四边形OAPQ为平行四边形,这样的点P、Q是否存在?若存在,分别求出点P、Q的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】如图1所示∠AOB的纸片,OC平分∠AOB,如图2把∠AOB沿OC对折成∠COB(OA与OB重合),从O点引一条射线OE,使∠BOE=∠EOC,再沿OE把角剪开,若剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°,则∠AOB=_____________°.
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【题目】点O在直线PQ上,过点O作射线OC,使∠POC=130°,将一直角三角板的直角顶点放在点O处.
(1)如图①所示,将直角三角板AOB的一边OA与射线OP重合,则∠BOC=________°.
(2)将图①中的直角三角板AOB绕点O旋转一定角度得到如图②所示的位置,若OA平分∠POC,求∠BOQ的度数.
(3)将图①中的直角三角板AOB绕点O旋转一周,存在某一时刻恰有OB⊥OC,求出所有满足条件的∠AOQ的度数.
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【题目】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.
(1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围)
(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?
(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?
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【题目】如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:
①四边形CFHE是菱形;②线段BF的取值范围为3≤BF≤4;
③EC平分∠DCH;④当点H与点A重合时,EF=.
以上结论中,你认为正确的有______.(填序号)
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【题目】有一个盛水的圆柱体玻璃容器,它的底面半径为(容器厚度忽略不计),容器内水的高度为.
(1)如图1, 容器内水的体积为_ (结果保留).
(2)如图2,把一根半径为,高为的实心玻璃棒插入水中(玻璃棒完全淹没于水中),求水面上升的高度是多少?
(3)如图3,若把一根半径为,足够长的实心玻璃棒插入水中,求水面上升的高度是多少?
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