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【题目】正方形ABCD的边长为4,PBC边上的动点,连接AP,作PQ⊥PACD边于点Q.当点PB运动到C时,线段AQ的中点M所经过的路径长(  )

A. 2 B. 1 C. 4 D.

【答案】B

【解析】

分析: 由题意知:PQAP,即:∠APB+QPC=90°,BAP+APB=180°-B=90°,所以∠QPC=BAP,又∠B=C,即:ABP∽△PCQ,由相似三角形的性质可得:=,CQ=×BP,又BP=x,PC=BC-BP=4-x,AB=4,将其代入该式求出CQ的值即可,利用配方法求该函数的最大值.易知点O的运动轨迹是O′→O→O′,CQ最大时,OO′=CQ=.

详解: 如图,连接AC,设AC的中点为O′,AQ的中点为O.设BP的长为xcm,CQ的长为ycm.

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠B=C=90°

PQAP,

∴∠APB+QPC=90°

APB+BAP=90°

∴∠BAP=QPC

∴△ABP∽△PCQ

=,即

y=-x2+x=-(x-2)2+1(0<x<4);

∴当x=2时,y有最大值1cm.

易知点O的运动轨迹是O′→O→O′,CQ最大时,OO′=CQ=

∴点O的运动轨迹的路径的长为2OO′=1,

故答案为1.

点睛: 本题主要考查正方形的性质、二次函数的应用、三角形的中位线定理等知识,关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出yx之间的函数关系,学会探究点O的运动轨迹.

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