Question

如图，（a）、（b）…（m）是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧．

（1）3条弧的弧长的和为

 

，3个扇形面积的和为

 

；
（2）4条弧的弧长的和为

 

，4个扇形面积的和为

 

；
（3）求图（m）中n条弧的弧长的和及n个扇形的面积的和．（用n表示）．

Answer 1

考点：扇形面积的计算,三角形内角和定理,多边形内角与外角,弧长的计算

专题：规律型

分析：（1）三角形的三个内角的和是180度，利用弧长公式和扇形的面积公式求解；
（2）四边形的四个内角的和是360度，利用弧长公式和扇形的面积公式求解；
（3）利用n边形的内角和以及弧长公式，和扇形的面积公式即可求解．

解答：解：（1）3条弧的弧长是：

180π×1

180

=π，3个扇形的面积的和是：

180π×12

360

=

π

2

；
故答案是：π，

π

2

；
（2）4条弧的弧长的和是：

360π×1

180

=2π，4个扇形的面积的和是：

360π×12

360

=π．
故答案是：2π，π；
（3）n边形的内角和是180（n-2）°，则n条弧的弧长的和是：

180(n-2)π×1

180

=（n-2）π，
n个扇形的面积的和是：

180(n-2)π×12

360

=

(n-2)π

2

．

点评：本题考查了多边形的内角和定理以及扇形的面积公式和弧长的计算公式，理解公式是关键．