Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B（0，4），动点C在以半径为2的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），当AC与⊙O相切时，点D的坐标为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,坐标与图形性质

专题：计算题

分析：如图1，作CF⊥OA于F，DE⊥OA于E，根据切线的性质得∠OCA=90°，由于OC=2，OA=4，则∠OAC=30°，∠COA=60°，在Rt△OCF中根据含30度的直角三角形三边的关系得OF=

1

2

OC=1，CF=

3

OF=

3

，然后证明△OCF≌△EOD，得到OE=CF=

3

，DE=OF=1，于是可写出D点坐标为（

3

，-1）；如图2，与前面一样可得OF=1，CF=

3

，利用△OCF≌△EOD得到OE=CF=

3

，DE=OF=1，此时D点坐标为（-

3

，-1）．

解答：解：如图1，作CF⊥OA于F，DE⊥OA于E，
∵AC与⊙O相切，
∴OC⊥AC，
∴∠OCA=90°，
∵OC=2，OA=4，
∴∠OAC=30°，∠COA=60°，
在Rt△OCF中，∵∠OCF=60°，
∴OF=

1

2

OC=1，CF=

3

OF=

3

，
∵∠COD=90°，即∠COF+∠DOE=90°，
而∠OCF+∠COF=90°，
∴∠DOE=∠OCF，
在△OCF和△EOD中，

∠OFC=∠DEO ∠OCF=∠DOE OC=DO

，
∴△OCF≌△EOD（AAS），
∴OE=CF=

3

，DE=OF=1，
∴D点坐标为（

3

，-1）；
如图2，与前面一样可得OF=1，CF=

3

，也可证明△OCF≌△EOD，
∴OE=CF=

3

，DE=OF=1，
∴D点坐标为（-

3

，-1）．
故答案为（

3

，-1）或（-

3

，-1）．

点评：本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了三角形全等的判定与性质．